Динамическая модель управления с бесконечным горизонтом в односекторной экономической системе

Курсовой проект - Менеджмент

Другие курсовые по предмету Менеджмент

?очка k1* существует, причем 0 < k1* < k(0).

 

Исследуем нестационарное решение уравнения (19):

 

Заметим, что если , то , k(t) - возрастающая.

Если , то , k(t) - убывающая.

Итак, если , то при некотором t > 0, k(t) - возрастающая.

Если , то при некотором t > 0, k(t) - убывающая.

Пересечения k(t) и нет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2

 

Исследуем более подробно поведение k(t). Продифференцируем (19) второй раз по t

 

Заметим, что если , то ;

 

При : , таким образом, при справедливо .

Иначе: , или при k1*. Таким образом, при 0 < k1* < k(0)

k(t) выпукла (вниз).

 

Если , то

 

Если и , то .

Таким образом, выполнено условие (22)

При k1* < k < k(0) получаем выполнение условия (22); k(t) выпукла вверх.

 

Аналогично можно показать, что при

 

Окончательные соотношения для второй производной

При выполняется , , тогда .

При k1* < k < k(0) выполняется , , тогда .

При k(0) > k выполняется , , тогда .

 

На основании этого анализа получаем общую картину интегральных кривых:

 

Рис.3

 

Предположим, что в исходной модели (функция Кобба-Дугласа).

Тогда

 

.

 

Условие в нуле:

Основное уравнение: .

 

Задача Коши:

 

 

Решение уравнения

 

Заменим k на . Тогда

 

;

 

Любая траектория в пределе приближается к стационарному решению.

 

Задача оптимального управления в неоклассической модели экономического роста

 

Основные параметры и характеристики модели

 

- объем произведенного продукта;

- объем основных производственных фондов (капитал);

- объем фонда потребления;

- объем инвестиций;

- объем рабочей силы.

 

Удельные (относительные) параметры:

 

- фондовооруженность (капиталовооруженность);

- удельные инвестиции;

- удельное потребление;

- фондовооруженность (удельный капитал).

 

Основные соотношения

 

- динамическое соотношение в модели Солоу;

, ;

;

;

;

;

.

 

Тогда основное уравнение:

 

Постановка задачи оптимального управления

 

Одномерная задача;

k = k(t) - состояние (аналог параметра x=x(t));

с = с(t) - управление (аналог параметра u=u(t)).

  1. Функционал:

 

 

Задача с бесконечным горизонтом времени;

- коэффициент пересчета стоимости потребительских благ (дисконтирование).

Иногда рассматривается функционал

 

 

  1. Основное соотношение (дифференциальная связь)

 

 

Общее соотношение в теории

 

  1. Граничные условия - закрепленный левый конец;

 

 

  1. Ограничение на управление:

 

- область допустимых управлений.

 

Математическая постановка задачи оптимального управления

 

(25)

 

Применим для решения задачи принцип максимума Понтрягина.

Множители Лагранжа , p(t) - сопряженная переменная.

В данной задаче ().

Функция Понтрягина:

 

.

 

В данной задаче

 

.

 

Сопряженное уравнение (общий вид):

 

.

экономический рост система солоу

В данной задаче

 

;

- интегрант.

;

 

Замена переменной

 

, .

,

.

 

Подставим соотношение для

 

,

(сопряженное уравнение)

 

Общее решение уравнения

 

 

Условие максимума функции Понтрягина:

 

 

Общий вывод

 

Если , , то максимум достигается при .

Если , , то максимум достигается при .

Если , , то функция Понтрягина явно не зависит от , можно выбрать любое значении из допустимой области.

Из условия максимума

 

 

c - произвольное допустимое значение управления,

с

Сопряженное уравнение (после преобразования)

,

(неизвестное)

Основное динамическое соотношение ( дифференциальная связь)

 

 

Стационарный режим в системе: основные параметры не зависят от времени t

 

,

,

.

 

Обязательное условие:

Соотношение для стационарных значений:

если , то , q=q(t)>0 (общий вид решения),

то из (9) следует:

 

 

- решение уравнения для стационарного значения

.

Подставляем :

 

 

Отметим, что за стационарное значение удобней выбрать

, удовлетворяет (31), если , .

Рассмотрим вариант .

( минимально допустимый уровень потребления),

Из (32) (уравнение для ) получаем:

 

Исследуем решения уравнения (35), то есть поведение .

Рассмотрим стационарные решения уравнения (35).

Уравнение для :

 

Условия на : , .

 

Рис.4

 

, - известная функция

 

Тогда уравнение (36) имеет не более двух решений.

Обозначим: - стационарные решения уравнения (35).

Тогда рассмотрим соотношение между

 

. Если , то

удовлетворяет неравенству:

Характер при различных соотношениях параметров:

 

1) Если .

Для этого

 

2) Если , k(t) убывает.

Для этого должно удовлетворять неравенству либо

 

Общая картина интегральных кривых уравнения

 

Рис.5

 

<