Динамическая модель управления с бесконечным горизонтом в односекторной экономической системе
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
?очка k1* существует, причем 0 < k1* < k(0).
Исследуем нестационарное решение уравнения (19):
Заметим, что если , то , k(t) - возрастающая.
Если , то , k(t) - убывающая.
Итак, если , то при некотором t > 0, k(t) - возрастающая.
Если , то при некотором t > 0, k(t) - убывающая.
Пересечения k(t) и нет.
Рис.2
Исследуем более подробно поведение k(t). Продифференцируем (19) второй раз по t
Заметим, что если , то ;
При : , таким образом, при справедливо .
Иначе: , или при k1*. Таким образом, при 0 < k1* < k(0)
k(t) выпукла (вниз).
Если , то
Если и , то .
Таким образом, выполнено условие (22)
При k1* < k < k(0) получаем выполнение условия (22); k(t) выпукла вверх.
Аналогично можно показать, что при
Окончательные соотношения для второй производной
При выполняется , , тогда .
При k1* < k < k(0) выполняется , , тогда .
При k(0) > k выполняется , , тогда .
На основании этого анализа получаем общую картину интегральных кривых:
Рис.3
Предположим, что в исходной модели (функция Кобба-Дугласа).
Тогда
.
Условие в нуле:
Основное уравнение: .
Задача Коши:
Решение уравнения
Заменим k на . Тогда
;
Любая траектория в пределе приближается к стационарному решению.
Задача оптимального управления в неоклассической модели экономического роста
Основные параметры и характеристики модели
- объем произведенного продукта;
- объем основных производственных фондов (капитал);
- объем фонда потребления;
- объем инвестиций;
- объем рабочей силы.
Удельные (относительные) параметры:
- фондовооруженность (капиталовооруженность);
- удельные инвестиции;
- удельное потребление;
- фондовооруженность (удельный капитал).
Основные соотношения
- динамическое соотношение в модели Солоу;
, ;
;
;
;
;
.
Тогда основное уравнение:
Постановка задачи оптимального управления
Одномерная задача;
k = k(t) - состояние (аналог параметра x=x(t));
с = с(t) - управление (аналог параметра u=u(t)).
- Функционал:
Задача с бесконечным горизонтом времени;
- коэффициент пересчета стоимости потребительских благ (дисконтирование).
Иногда рассматривается функционал
- Основное соотношение (дифференциальная связь)
Общее соотношение в теории
- Граничные условия - закрепленный левый конец;
- Ограничение на управление:
- область допустимых управлений.
Математическая постановка задачи оптимального управления
(25)
Применим для решения задачи принцип максимума Понтрягина.
Множители Лагранжа , p(t) - сопряженная переменная.
В данной задаче ().
Функция Понтрягина:
.
В данной задаче
.
Сопряженное уравнение (общий вид):
.
экономический рост система солоу
В данной задаче
;
- интегрант.
;
Замена переменной
, .
,
.
Подставим соотношение для
,
(сопряженное уравнение)
Общее решение уравнения
Условие максимума функции Понтрягина:
Общий вывод
Если , , то максимум достигается при .
Если , , то максимум достигается при .
Если , , то функция Понтрягина явно не зависит от , можно выбрать любое значении из допустимой области.
Из условия максимума
c - произвольное допустимое значение управления,
с
Сопряженное уравнение (после преобразования)
,
(неизвестное)
Основное динамическое соотношение ( дифференциальная связь)
Стационарный режим в системе: основные параметры не зависят от времени t
,
,
.
Обязательное условие:
Соотношение для стационарных значений:
если , то , q=q(t)>0 (общий вид решения),
то из (9) следует:
- решение уравнения для стационарного значения
.
Подставляем :
Отметим, что за стационарное значение удобней выбрать
, удовлетворяет (31), если , .
Рассмотрим вариант .
( минимально допустимый уровень потребления),
Из (32) (уравнение для ) получаем:
Исследуем решения уравнения (35), то есть поведение .
Рассмотрим стационарные решения уравнения (35).
Уравнение для :
Условия на : , .
Рис.4
, - известная функция
Тогда уравнение (36) имеет не более двух решений.
Обозначим: - стационарные решения уравнения (35).
Тогда рассмотрим соотношение между
. Если , то
удовлетворяет неравенству:
Характер при различных соотношениях параметров:
1) Если .
Для этого
2) Если , k(t) убывает.
Для этого должно удовлетворять неравенству либо
Общая картина интегральных кривых уравнения
Рис.5
<