Движение зарядов в газе под действием электрического поля
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
1.Движение зарядов в газе
Одномерное электрическое поле вызывает движение электронов или положительных однозарядных ионов в газе. Направленная составляющая движения затруднена частыми соударениями зарядов с газовыми молекулами. Хаотическая составляющая подчиняется статистике Максвелла - Больцмана при повышенной за счет поля температуре газа электронов или ионов. Необходимо получить и проанализировать математические соотношения, связывающие среднюю скорость направленного движения зарядов и их температуру с напряженностью электрического поля, массой частицы, давлением и родом газа.
Между соударениями на длине свободного пробега заряды ускоряются полем в соответствии с законом Ньютона:
, (1.1)
где и - масса и заряд частицы, - направленная составляющая скорости (вдоль оси , параллельной силовым линиям электрического поля), - время, - сила, с которой поле действует на частицу, - модуль напряженности поля.
Приближенно полагая, что приобретаемая на длине свободного пробега направленная скорость полностью теряется при соударениях (в среднем по большому числу столкновений из-за равновероятности углов отражения частиц от молекул), интегрируем уравнение 1.1 с начальным условием = 0 при = 0:
(1.2)
где - скорость направленного движения в конце свободного пробега, - время между соударениями, - длина свободного пробега, - хаотическая составляющая скорости движения, которая значительно больше направленной и практически полностью определяет величину .
Средняя направленная скорость определяется соотношением:
(1.3)
где - средняя скорость направленного движения, - скорость направленного движения в конце свободного пробега при определённых значениях длины пробега и скорости хаотического движения , - вероятность появления пробега (в диапазоне от до ), - вероятность появления скорости (в диапазоне от до ). Коэффициент 0,5 усредняет скорость на длине свободного пробега. Интегрирование в формуле (1.3) соответствует обычной математической процедуре нахождения среднего значения и обеспечивает учёт частот появления различных значений и .
В соответствии со статистикой Максвелла - Больцмана вероятности , и средняя скорость хаотического движения частиц определяются соотношениями:
(1.4)
(1.5)
, (1.6)
где - средняя длина свободного пробега; - кинетическая энергия; - постоянная Больцмана: - температура заряженных частиц.
Из соотношений (1.2) - (1.6) после интегрирования получаем:
, (1.7)
, (1.8); (1.9)
где - коэффициент пропорциональности, называемый подвижностью заряженной частицы; - безразмерная константа, близкая к единице.
Входящая в формулу (1.9) средняя скорость хаотического движения зависит от температуры газа заряженных частиц [см. (1.6)]. Поэтому далее необходимо установить связь температуры с напряжённостью электрического поля, что может быть сделано из условия баланса энергии на длине свободного пробега в стационарном (установившемся) состоянии:
(1.10)
где - проекция средней длины свободного пробега на направление электрического поля, - температура газовых молекул; - коэффициент, показывающий, какую часть энергии заряженная частица теряет при упругом ударе с молекулой.
Левая часть уравнения (1.10) определяет энергию, приобретаемую частицей на длине свободного пробега за счёт ускорения полем, а правая - энергию, теряемую при ударе с молекулой. Произведения и по статистике Максвелла - Больцмана равны соответственно значениям средней энергии хаотического движения заряженных частиц и молекул газа. Разность этих произведений можно интерпретировать как среднюю энергию хаотического движения заряженных частиц при неподвижных молекулах. Величина находится из соотношения:
, (1.11)
обе части которого физически определяют (приближенно) среднее время между соударениями.
Объединение формул (1.6) - (1.11) даёт квадратное уравнение, из которого находится температура заряженных частиц:
. (1.12)
При записи этого соотношения приближённо положено, что величина . Входящий в уравнение коэффициент находится по формуле, характеризующей упругий удар шарообразных тел:
, (1.13)
где - масса молекул газа. Длина пробега обратно пропорциональна давлению газа
: (1.14)
где - средняя длина пробега при единичном давлении. Соотношения (1.8), (1.9) и (1.12) с учетом формул (1.6), (1.13) и (1.14) определяют среднюю скорость направленного движения и температуру заряженных частиц в зависимости от напряжённости электрического поля, массы частиц, давления и рода газа.
Анализ результатов решения
Движение ионов. Случай отличается тем, что массы заряженных частиц и молекул газа приблизительно равны. В соответствии с формулой (1.13) коэффициент близок к 0,5. Это означает, что при упругом ударе с молекулой ион теряет значительную (50%) часть своей энергии. Подстановка = 0,5 в уравнение (1.12) обнаруживает, что для реальных условий температура ионов мало отличается от температуры молекул. Электрическое поле, ускоряя ионы, разогревает ионный газ, но он интенсивно охлаждается путём передачи энергии молекулам при упругих соударениях. Приближённо можно полагать, что температура ионов и средняя скорость их хаотического движения не зависят от напряжённости поля, а определяются температурой нейтрального газа.
В этих условиях от напряжённости поля не зави?/p>