Гравитационный поезд
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
? частей:
) Первая часть заключается в нахождении максимального расстоянии видимости l поверхности Земли человека управляющего поездом. (l=BO=CO)
) Вторая часть задачи состоит о нахождении максимального расстояния L видимости двух человек управляющими поездами, которые едут навстречу друг другу. Именно то расстояние, при котором один человек увидит голову другого. (L =BC)
Высота человека над поверхностью земли h=3 м. Радиус Земли R=6371000 м.
Решение первой части:
Рассматриваем треугольник ABO. BO перпендикулярен AO, т. к. BO - касательная.
Значит треугольник ABO - прямоугольный.
Расстояние l найдем по теореме Пифагора:
l =; (2.1.1)
l =; (2.1.2)
Т.к. - мало, то им можно пренебречь.
l =; (2.1.3)
l ===6183 м; (2.1.4)
l =6183 м. (2.1.5)
Вывод: человек управляющего поездом, находясь при этом на высоте h=3 м, может максимально видеть поверхность Земли на расстоянии l =6183 м.
Решение второй части:
Т.к. высота нахождения двух этих людей одинакова, то расстоянии видимости другого будет равная расстоянию первому человеку.
Значит расстоянии видимости L двух человек будет равняться двум расстояниям видимости одного человека l:
L=2 l; (2.1.6)
Т.к l =; (2.1.7)
То L=2*=2*=12366 м; (2.1.8)
L=12366 м. (2.1.9)
Вывод: вследствие кривизны земной поверхности, два человека управляющими поездами, которые едут навстречу друг другу, могут увидеть друг друга на максимальном расстоянии L=12366 м.
2.2 Задача о нахождении времени путешествия поезда по тоннелю
Покажем, что при прочих равных условиях (в отсутствие трения качения и сопротивления воздуха) время путешествия равное 42 мин 12 сек независимо от того, проходит тоннель через центр Земли или нет. И насколько глубоко от поверхности земли находится центр тоннеля.
Пусть x(t) быть координатой по туннелю с происхождением, помещенным в середине, r расстояние от поезда до центра Земли. Тогда
= r cos ?; (2.2.1)
где ? является углом между направлением к середине туннеля, и вертикальным направлением.
Сила гравитации, действующая на поезд равна
F = ? ? mM(r) r; (2.2.2)
где m - масса поезда,
= ?; (2.2.3) = ?; (2.2.4)
= ? dV = ?dSdr; (2.2.5)
= ? dV= ?dSdr; (2.2.6)=; (2.2.7)=; (2.2.8)
Подставим последнее в dF и dF:
dF = ? = ? ; (2.2.9)
dF= ? = ? ; (2.2.10)
Какие любые две противоположные точки мы не взяли на произвольной внутреннем слое, по отношению к поезду, их результат гравитационного воздействия на поезд равен нулю.
Т. о., при учете воздействия земли на поезд, нужно учитывать ту часть земли которая находится ниже поезда
М(r)- масса части Земли ниже поезда, ? - гравитационная постоянная и она равна ?=6,67*10 Н м/ кг. Теперь мы имеем
М(r) = (4?/3)?r; (2.2.11) где ? - является плотностью Земли и она равна ? = 5520 кг/м. Заменим этим выражение для М(r), мы получаем
= ????mr; (2.2.12)
Мы только нуждаемся в компоненте этой силы, действующей по туннелю; остальные дается компенсацию реакцией рельса. Компонент по туннелю
cos ?; (2.2.13)
где ? - означает то же самое как в (2.2.1).
Таким образом, уравнение движения (Второй Закон Ньютона) и (2.2.1) дает
mx= F cos ? =????mr cos ? = ????mx; (2.2.14)
где мы выбрали минус признак от очевидных физических рассмотрений.
Таким образом, наш поезд ведет себя как линейный осциллятор
x= - ?x ; (2.2.15)
? =???; (2.2.16)
Нахождение периода
T = 2?/ ?; (2.2.17)
В данной задаче вопрос состоит о нахождении времени прохождения поезда по тоннелю, значит, это время t будет равно:
t = T/2 = ?/ ?; (2.2.18)
Таким образом
t = 42 мин 12 сек. (2.2.19)
Вывод: численными расчетами убедились, что время путешествия по тоннелю (в отсутствие трения качения и сопротивления воздуха) равное 42 мин 12 сек независимо от того, проходит тоннель через центр Земли или нет [4,6].
2.3 Задача о нахождении максимальной скорости поезда в тоннеле
Суть задачи: вывести формулу для максимальной скорости прохождения поезда в тоннеле (в т. ч. если тоннель проходит точно через центр Земли) и найти ее численное значение.
Способ: через уравнение движения
Запишем уравнение движения поезда в тоннели
x= - ?x ; (2.3.1)
x = A cos ?t; (2.3.2)(t) = v= - A ? sin ?t; (2.3.3)
Т. к. ?=, для максимальной скорости ? sin ?t ? = 1,
по теореме Пифагора A=,
то v=; (2.3.4)
v=; (2.3.5)
g = ???R; (2.3.6)
v =; (2.3.7)
Максимальная скорость поезда будет в середине тоннеля, когда r = r,
v= 7900 метров в секунду. (2.3.8)
Теперь найдем максимальное ускорение поезда в тоннеле
v(t) = a(t) = - A ? cos ?t; (2.3.9)
Т.к. ? = ???, A=,? cos ?t ? = 1, g = ???R,
то a (t) = ???; (2.3.10)
a (t) = ; (2.3.11)
учитывая, что r = r, получим
a (t) = = R = g; (2.3.12)
Таким образом, максимальное ускорение, которое приобретет поезд, будет равное g.
Способ: через З.С.Э.
F(r) = - (2.3.13)
из (2.3.13) нужно найти
= ; (2.3.14)
Зная F(r) = ????mr, получим
E(r) = ????m+ c, где c=const; (2.3.15)
E(r) = ???m- c; (2.3.16)
E(R) = -? (2.3.17)
Т.к. M=, (2.3.18)
То E(R) = ????mR; (2.3.19)
В (2.3.16) вместо r поставим R:
E(R) = ???m- c; (2.3.20)
Теперь приравняем (2.3.19) с (2.3.20) получим
????mR= ???m- c; (2.3.21)
c = ???m(+ R); (2.3.23)
c = ???m R; (2.3.24)
c = gR; (2.3.25)
E(r=R) = E(r= r) = ; (2.3.26)
E(r=R) = ???m - gR = ???m - gR + ; (2.3.27)
- = ; (2.3.28)
; (2.3.29)
= (-); (2.3.30)
=; (2.3.31)
Т.к. и в первом способе максимальная скорость поезда будет в середине тоннеля, когда r = r, значи?/p>