Временные ряды и их предварительный анализ
Контрольная работа - Экономика
Другие контрольные работы по предмету Экономика
1- ? .
Если последовательно использовать соотношение (2.10), то экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда. При
(2.11)
Таким образом, величина St является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом, веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от "возраста" наблюдений). Поэтому величина St названа экспоненциальной средней.
Например, если ? = 0,3, то вес текущего наблюдения yt будет равен 0,3; вес предыдущего уровня yt-1 будет соответствовать ?*? = 0,3*0,7=0,21; для уровня yt-2 вес составит ?*?2 = 0,3*0,72=0,147; для yt-3 вес ?*?3 = 0,3*0,73 = 0,1029 и т.д.
Пусть модель временного ряда имеет вид:
.
Английский математик Р. Браун показал, что дисперсия экспоненциальной средней D[St] меньше дисперсии временного ряда
(2.12)
Из (2.12) следует, что при высоком значении ? дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением ? дисперсия экспоненциальной средней уменьшается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспоненциальная средняя начинает играть роль фильтра, поглощающего колебания временного ряда.
Таким образом, с одной стороны, необходимо увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением ?, с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину ? нужно уменьшить.
Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания ? составляет задачу оптимизации модели.
Часто поиск оптимального значения ? осуществляется путем перебора и в качестве оптимального выбирается такое значение, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки. Обычно параметр сглаживания принимается равным в интервале от 0,1 до 0,3.
При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид: yt = a1,t + et, где a1,t - варьирующий во времени средний уровень ряда, et - случайные не автокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .
Прогнозная модель определяется равенством
где - прогноз, сделанный в момент t на ? единиц времени (шагов) вперед; - оценка параметра в момент времени t.
Единственный параметр модели 1,t определяется экспоненциальной средней: 1,1 = St ; 1,0 = S0.
Выражение (2.10) можно представить иначе:
(2.13)
Величину можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.
Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Массив прошлой информации уменьшен до единственного значения St-1.
Глава II Задача
Представлены данные об остатках оборотных средств за 15 месяцев. Остатки даны на начало года. Необходимо рассчитать прогноз остатков на начало 16-го месяца, исходя из предложения, что тенденция ряда может быть описана
а) линейной моделью y1=a0+a1t
б) параболической моделью yt=a0+a1t+a2t2
№ п/пYt (тыс.р.)tYt*tt2Yt*t2t41650-7- 4550493185024012700-6- 4200362520012963715-5- 357525178756254700-4- 280016112002565650-3- 195095850816550-2- 110042200167610-1- 61016101870000000965016501650110630212604252016116003180095400811271042840161136025613750537502518750625147606456036273601296157707539049377302401Итого:10145014652801985559352
Решение
А) В предположении об изменении тенденции ряда по линейной модели:
- определить параметры линейного тренда ;
дать экономическую интерпретацию полученных параметров модели;
рассчитать прогнозный уровень выручки от продаж за 16-й месяц.
Б) В предположении об изменении тенденции ряда по параболической модели:
определить параметры параболического тренда ;
дать экономическую интерпретацию полученных параметров модели;
рассчитать прогнозный уровень выручки от продаж за 16-й месяц.
Расчет параметров модели производится по формулам:
Система нормальных уравнений для оценивания параметров прямой состоит из двух уравнений:
Для параболы второго порядка система содержит три уравнения, позволяющих найти оценки трех неизвестных коэффициентов :
а) Прямая. С учетом данных таблицы и выражения:
Получаем: а0 = 10145 тыс. руб. 15 = 676,333 тыс. руб.
а1 = 1465 тыс. руб. 280 = 5,232 тыс. руб.
Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:
t = 676,333 + 5,232 t
Согласно полученной модели, оценка среднего уровня ряда при t = 0 составляет 676333 рублей, а среднемесячный абсолютный прирост остатка оборотных средств равен 5232 руб.
Для прогнозирования по линейной модели на одну точку вперед необходимо в полученное выражение подставить соответствующее значение временного параметра t = 8, соответствующее реальному значению t* = 16.
Прогнозное значение остатка оборотных средств на 16-й месяц составит:
= 676,333 + 5,232 8 = 718,189 тыс. руб.
= 718189 руб.
б) Парабола. С учетом данных таблицы и выражений:
Получаем: а1 = 1465 тыс. руб. 280 = 5,232 тыс. руб.
а2 = (15 198555 - 280 645,1) (15 9352 - 280) = (2978325 - 180628) (140280 - 78400) = 2797697 61890 = 45,204 тыс. руб.
а0 = 676,333 - 280 15 45,204 = - 167,474 тыс. руб.
Полученное уравнение параболы имеет вид:
= - 167,474 + 5,232 t + 45,204 t
Согласно полученной модели, оценка среднего уровня ряда при t = 0 составляет - 167474 рублей, среднемесяч