Випадкові події
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?убика необхідно приписати однакові ймовірності елементарним подіям:
.
Якщо кубик не симетричний, то ймовірностям необхідно приписати різні значення. Нехай методами математичної статистики встановили, що
,, ,,,.
Тоді ймовірність події - випаде не більше двох очок - для симетричного кубика дорівнює , а для несиметричного - . Ймовірність випадання непарного числа очок (подія ) для симетричного кубика дорівнює , для несиметричного .
7. Основні співвідношення та теореми теорії ймовірностей
З аксіом Колмогорова можна одержати всі співвідношення елементарної теорії ймовірностей.
Рівність нормування ймовірностей:
(1)
Доведення. Елементарним подіям співставляються одноелементні множини , які не перетинаються між собою. Тому універсум U можна представити у вигляді
.
Згідно 3-ї аксіоми Колмогорова
.
Згідно 2-ї аксіоми Колмогорова
.
Тому
,
що й треба було довести.
Імовірність протилежної події:
. (2)
Доведення. З алгебри множин відоме теоретико-множинне співвідношення
.
За 2-ю аксіомою Колмогорова для відповідних подій можна записати
.
За 3-ю аксіомою Колмогорова
,
а значить
.
Отже,
.
Імовірність неможливої події:
.(3)
Доведення. Згідно формули (2) при A=U
.
Теорема додавання ймовірностей несумісних подій:
.(4)
Доведення. З використанням 2-ї аксіоми Колмогорова можна записати послідовність рівностей
.
Події називаються сумісними, якщо відповідні множини перетинаються: . Якщо події сумісні, то настання однієї з них не виключає можливості настання іншої.
Приклад 1. При киданні двох гральних кубиків подія А - випав дубль - і подія В - випала непарна кількість очок - є несумісними подіями.
Приклад 2. При киданні двох гральних кубиків подія А - випало у сумі не більше 6 очок - і подія В - випало у сумі не менше 4 очок - є сумісними.
Теорема додавання ймовірностей сумісних подій:
,(5)
та дві важливі рівності
,(6)
.(7)
Доведення. З дискретної математики відомі такі теоретико-множинні тотожності:
,(1*)
,(2*)
,(3*)
,(4*)
.(5*)
На підставі цього для відповідних випадкових подій А і В можна записати рівності:
, (6*)
,(7*)
,(8*)
,(9*)
.(10*)
З рівностей (6* та 7*) , і тому рівності (8*, 9* та 10*) можна переписати у вигляді
,
,
,
що і треба було довести.
Імовірність сумісного настання подій , тому з рівностей (5-7) слідують нерівності:
,(8)
,(9)
.(10)
Для несумісних подій і нерівності (8-10) переходять у строгі рівності.
Дві випадкові події А і В називаються незалежними, якщо для них справджується рівність
, (11)
і залежними, якщо не справджується. Враховуючи властивість асоціативності операції перерізу множин, рівність (10) можна узагальнити на випадок декількох незалежних подій
.(12)
Остання рівність називається теоремою множення ймовірностей незалежних подій.
Якщо події залежні, то настання однієї з них змінює ймовірність іншої.
Приклад 3. В урні є 2 білі та 3 чорні кулі. З урни виймають одну кулю, після чого, не повертаючи її назад, виймають ще одну. Нехай подія А - першого разу вийнята біла куля, а подія В - другого разу вийнята біла куля. Якщо подія А настала, то ймовірність , а якщо подія А не настала (першого разу вийнята чорна куля), то .
Імовірність події В за умови настання події А називається умовною ймовірністю і позначається або . З використанням умовних ймовірностей для ймовірності спільного настання будь-яких подій А і В можна записати
.(13)
Якщо події незалежні, то
(14)
і (13) переходить у рівність (11).
Рівність (13) можна узагальнити на випадок довільної кількості залежних подій,
,(15)
- ймовірність настання події А3 за умови настання події А1 і А2 ,…,
- ймовірність події Аn за умови настання і події А1, і події А2, і..., і події Аn-1.
З формули (12) слідує рівність
,(16)
яка часто використовується для означення умовної ймовірності.
8. Залежність/незалежність та сумісність/несумісність подій
У більшості практичних випадках важко одразу зробити висновок про незалежність/залежність подій та про їх сумісність/несумісність, і тому необхідні певні дослідження.
Для перевірки залежності/незалежності подій необхідно перевірити рівність (1.7.11) або (1.7.13). Рівність справджується - події незалежні, не справджується - залежні.
Приклад 1. Необхідно дослідити на залежність/незалежність події А - випаде дубль при киданні двох кубиків - і події В - випаде менше 6 очок.
Розвязування. Для цього необхідно обчислити та . Це можна зробити, якщо скористатися класичним означенням ймовірностей. Події А сприяють наслідки , всього 6 із 36. Тому . Події В сприяють наслідки
всього 10 із 36. Тому . Одночасному настанню подій А і В сприяють наслідки , всього 2. Тому .
Отже, . Висновок - події залежні.
Для перевірки сумісності/несумісності випадкових подій необхідно перевірити умову . Рівність справджується - події несумісні, не справджується - сумісні.
Приклад 2. Події А і В з пр?/p>