Випадкові події
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
дходження сигналів незалежні один від одного. Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналів менша ніж t . Знайти ймовірність того, що сигналізатор подасть сигнал за час Т (подія A), якщо кожен із пристроїв надішле по одному сигналу.
Розвязування. Нехай моменти надходження сигналів від першого й другого пристроїв відповідно x та y. За умовою задачі
(*)
Нерівностям (*) задовільняють координати будь-якої точки квадрату ОТАТ (рис. 1). Отже, цей квадрат можна розглядати як фігуру G. Його площа . Сигналізатор подає сигнал, якщо різниця між моментами надходження сигналів менша за t;
, якщо ,(**)
, якщо .(***)
Нерівність (**) виконується для точок фігури G, які знаходяться вище прямої і нижче прямої ; нерівність (***) має місце для точок, які знаходяться нижче прямої і вище прямої . Як видно з рис.1 нерівностям (**) та (***) одночасно задовільнять точки заштрихованого шестикутника, який можна прийняти в якості фігури g. Його площа . За формулою (2)
5. Статистичне означення ймовірностей
Статистичне означення ймовірності базується на спостереженнях за випадковою подією при послідовності експериментів.
Нехай експеримент S повторено n разів і подія A у цьому конкретному експерименті настала m разів. Відношення
(1)
називається відносною частотою випадкової події.
Відносна частота змінюється від серії до серії з n експериментів, але має властивість стійкості. Це означає, що у різних серіях із достатньої великої кількості експериментів, відносна частота змінюється мало (тим менше, чим більше виконано експериментів у серії), коливаючись біля деякого постійного числа, близьким до ймовірності події А.
Тому відносну частоту можна прийняти за наближене значення ймовірності:
.(2)
Наближена рівність (2) є тим точніша, чим більше n.
Приклад 1. Відділ технічного контролю виявив 5 бракованих книг, випадково вибраних із партії, що містить 100 книг. Знайти відносну частоту появи бракованих книг.
Розвязування. За умовою задачі . За формулою (1)
.
Статистичне означення ймовірності дозволяє експериментально оцінити правомірність класичного означення ймовірностей та геометричних ймовірностей в окремому випадку.
6. Аксіоматичне означення ймовірностей
Теорія ймовірностей стала логічно завершеним розділом математики після того, як в її основу була покладена система аксіом. Таку систему аксіом легко описати мовою теорії множин.
Можливі наслідки експерименту S утворюють множину елементарних подій , яка є універсумом. Елементарні події не сумісні. Це означає, що настання однієї з цих подій виключає настання будь-якої іншої. Випадкова подія А ототожнюється з підмножиною універсуму U, яка містить елементарні події, що сприяють події А. Неможлива подія ототожнююється з порожньою множиною, достовірна з універсумом U, а протилежна подія з доповненням множини А до універсуму. Протилежна подія до події А полягає в тому, що подія А не настає.
Множина підмножин універсуму U називається полем подій і позначається F. Елементами цієї множини є можливі події, які можуть настати у результаті стохастичного експерименту. Якщо множина U має n елементів, то поле подій F складається з подій. Нескінченна множина F називається борелевським полем (або s-алгеброю). Відносно операцій обєднання, перерізу і доповнення множина подій F утворює булеву алгебру.
Ототожнення подій з множинами дозволяють розвязування задач теорії ймовірностей звести до розвязування теоретико-множинних задач.
Теоретико-множинні операції відносно подій мають такий зміст:
1) - настає або подія А, або подія В, у тому числі і одночасно;
2) - одночасно настають обидві події А і В;
3) - настає або подія А, або подія В, але не одночасно;
4) - подія А настає, а подія В не настає;
5) - якщо подія А настає, то обовязково настає і подія В.
Ймовірність подій визначається за Колмогоровим сукупністю аксіом.
1 аксіома. Кожній події ставиться у відповідність невідємне дійсне число - ймовірність події.
2 аксіома. Ймовірність достовірної події дорівнює 1:.
3 аксіома. Якщо А і В несумісні (відповідні множини А і В не перетинаються), то .
Ця система аксіом несуперечлива і є основою елементарної теорії ймовірностей, яка вивчає скінченні множини подій. При розгляді нескінченної множини подій система аксіом доповнюється ще однією аксіомою:
4 аксіома - аксіома неперервності. Для послідовності подій такої, що та (порожній множині), має місце співвідношення
Непорожня множина U елементарних подій, булева алгебра подій F і множина ймовірністей Р, яка визначена на F, утворюють у сукупності ймовірнісний простір, який позначається як трійка .
При аксіоматичному означенні не використовується поняття рівноможливості наслідків, що характерно для класичного означення ймовірностей. Аксіоматична теорія ймовірностей не вирішує питання про конкретні чисельні значення ймовірностей елементарних подій. Розвязуванням цієї задачі з ймовірнісних позицій займається математична статистика.
Приклад 1. При киданні грального кубика множина елементарних подій , - випало і очок. Множина F подій складається з елементів, серед яких порожня множина , основна множина U, одноелементні множини , а також множини, які утворені сполученням із 6елементів по 2, 3, 4, 5 елементів. У допущенні симетрії грального ?/p>