Випадкові події
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
обох монетах, - герб на першій монеті і цифра на другій, - цифра на першій монеті і герб на другій, - цифра на обох монетах. Ймовірності наслідків згідно із (2) дорівнюють 0.25. Складній події В - випаде герб і цифра - сприяють 2 наслідки:, , і тому за формулою (1) . Події С - випаде хоча б один герб - сприяють 3 наслідки:,,, і тому .
У більш складних випадках для підрахунку числа наслідків, які сприяють випадковій події, використовуються методи комбінаторного аналізу.
Комбінаторний аналіз вивчає методи підрахунку числа сполучень, перестановок, розміщень, тощо. При цьому для виведення співвідношень використовуються правила суми та добутку:
Правило суми. Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b - n способами, то вибрати або a, або b можна m+n способами.
Правило добутку. Якщо елемент a можна вибрати m способами і після такого кожного вибору, елемент b можна вибрати n способами, то елементи а і b можна вибрати m n способами.
Нехай A неупорядкована множина з n елементів. Будь-яка m-елементна підмножина цієї множини називається сполученням із n елементів по m елементів. Порядок слідування елементів у сполученнях не суттєвий. Це означає, що різні сполучення обовязково відрізняються хоча б одним елементом. Число сполучень
.(3)
Числа називаються біноміальними коефіцієнтами.
Приклад 3. Скількома способами можна вибрати 2 деталі з ящика, в якому знаходиться 10 деталей?
Розвязування. У задачі йдеться про сполучення із 10 елементів по 2 елементи. За формулою (3)
.
Перестановками називаються упорядковані множини, які відрізняються між собою лише порядком своїх елементів. Число перестановок
.(4)
Приклад 4. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить у число лише один раз?
Розвязування.
Розміщеннями називають m-елементні підмножини множини з n різних елементів, які відрізняються або за складом, або за порядком. Число розміщень
.(5)
Приклад 5. Скільки можна утворити сигналів із 6 прапорців різного кольору, якщо скористатись для одного сигналу 2 прапорцями?
Розвязування. Кожний сигнал відрізняється від інших як набором кольорів, так і їх розташуванням. Тому необхідно підрахувати число розміщень із 6 елементів по 2 елементи. За формулою (5).
Числа розміщень, сполучень та перестановок звязані співвідношенням
.(6)
Приклад 6. В партії з n елементів є k відмічених. Знайти ймовірність того, що з випадково вибраних m елементів відмічених буде x елементів (подія А).
Розвязування. Загальна кількість наслідків дорівнює числу сполучень з n елементів по m елементів:
.
Наслідки, що сприяють події А, відповідають сполученням з x вибраних відмічених елементів і m-x вибраних невідмічених елементів. Відмічені елементи можна вибрати способами, невідмічені - способами. За правилом добутку число наслідків, що сприяють події А, дорівнює . За класичним означенням ймовірність події А дорівнює
(7)
При
(за визначенням),
,.
Класичне означення ймовірностей виникло на початку розвитку теорії ймовірностей у звязку з вивченням шансів на виграш в азартних іграх. В той самий час класичне означення неможливо розглядати як строге означення ймовірностей. Воно використовує поняття рівноможливості, яке, по суті, означає однакову ймовірність. Виходить, що ймовірність визначається через ймовірність.
Класичне означення ймовірностей не має сенсу у випадках, коли наслідки не є рівноможливими, або коли їх нескінченна кількість.
4. Геометричні ймовірності
Поняття геометричних ймовірностей - ймовірностей попадання точки в область (відрізок, частину площини і т.д.) - використовують у випадку стохастичних експериментів із нескінченною кількістю рівноможливих та несумісних наслідків.
Нехай відрізок, l - довжина відрізку , L - довжина відрізку . На відрізок навмання кидається точка. Це означає виконання таких умов:
- кинута точка може опинитися в будь-якій точці відрізку ;
- ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна його довжині і не залежить від його розташування на відрізку .
За таких умов ймовірність попадання точки на відрізок дорівнює відношенню довжин відрізків:
.(1)
Якщо , то розглядається ймовірність попадання точки в точку на відрізку . Як слідує з (1), така ймовірність дорівнює нулю:
.
Отже, якщо ймовірність події дорівнює нулю, то необовязково, що ця подія неможлива.
Нехай g - плоска фігура, яка цілком знаходиться всередині іншої плоскої фігури G. На фігуру G навмання кидається точка. Це означає виконання таких допущень:
- кинута точка може опинитись у будь-якій точці фігури G;
- ймовірність попадання точки на фігуру g пропорційна площі цієї фігури і не залежить ні від її розташування відносно фігури G, ні від її форми.
За таких умов ймовірність попадання точки у фігуру g дорівнює відношенню площ фігур:
,(2)
- площа фігури g, - площа фігури G.
Означення (1) та (2) є частковими випадками загального означення геометричних ймовірностей:
,(3)
де mes позначає міру (площу, обєм, довжину) області, - вектор, який визначає точку у n-вимірному евклідовому просторі.
Приклад 1. У сигналізатор поступають сигнали з двох пристроїв. Надходження сигналів від пристроїв рівноможливе у будь-який момент часу на проміжку від 0 до Т. Моменти на