Вивчення поняття "символ О"
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Курсова робота: Вивчення поняття "символ О"
Зміст
Введення
Розділ 1. Символ О
1.1 Основні визначення, приклади
1.2 Основні співвідношення
1.3 Рішення задач
Розділ 2. Додаток символу О
2.1 Асимптотичне рішення трансцендентних рівнянь дійсного змінного
2.2 Асимптотичне рішення інтегралів
2.3 Асимптотичне обчислення суми ряду
Література
Введення
Слово асимптотика має грецьке походження й буквально означає "ніколи що не зєднуються". Вивчаючи конічні перетини, давньогрецькі математики розглядали, зокрема, гіперболи, такі, як графік функції ,
Які мають прямі y = x і y = -x своїми "асимптотами". При крива наближається до асимптотам, але ніколи не стикається з ними. У наші дні слово "асимптотика" використовується в більше широкому змісті для позначення будь-якої наближеної величини, що стає усе більше точної в міру наближення деякого параметра до граничного значення.
Точні рішення, якщо їх вдається одержати, - це чудово: остаточна відповідь викликає почуття глибокого задоволення. Але й наближене значення іноді виявляється в ціні.
В 1894 році Пауль Бахман придумав позначення для асимптотичного аналізу. У наступні роки його популярності сприяли Едмунд Ландау й ін. Ми зустрічаємо це позначення у формулах на зразок:
,(1.1)
яка говорить нам, що n-е гармонійне число дорівнює натуральному логарифму n плюс константа Ейлера плюс деяка величина, що становить "О велике від 1 на n". Ця остання величина точно не визначена, однак, який би вона не була, позначення "О" дозволяє затверджувати, що вона не перевершує константу, помножену на 1/n.
Величину О(1/n) можна вважати малої, якщо тільки нас не цікавлять величини, що відрізняються від 1/n лише постійним множником.
Додаток символу О можна зустріти в різних областях математики, а також і у фізику. Наприклад, у книзі Панченкова А.Н. "Асимптотичні методи в екстремальних задачах механіки" розглядається застосування асимптотичних методів у рішенні задач аеродинаміки.
Ціль курсової роботи: вивчити поняття "Символ О" і показати його застосування.
Задачі:
1. Вивчити поняття "Символ О", дати визначення.
2. Вивчити й довести основні співвідношення.
3. Показати застосування символу О при рішенні задач.
4. Знайти застосування символу О в різних областях математики.
На підставі поставлених цілей і задач кваліфікаційна робота розбита на дві глави.
Розділ 1 "Символ О" складається із трьох параграфів. У першому параграфі розглядаються основні визначення, приводяться приклади; у другому - формулюються твердження, приводяться їхні докази; третій параграф присвячений рішенню задач.
Розділ 2 "Додатка символу О" висвітлює застосування символу О, а саме, при рішенні трансцендентних рівнянь, при обчисленні інтегралів, при знаходженні суми рядів.
Розділ 1. Символ О.
1.1 Основні визначення, приклади
Визначення 1:
f(n) = O(g(n)) для всіх n N (1.1.1) означає, що існує така константа З, що для всіх n N; (1.1.2), а якщо позначення O(g(n)) використано усередині формули, то воно позначає функцію f(n), що задовольняє (1.1.2). Значення функції f(n) невідомі, але ми знаємо, що вони не занадто великі.
Символ "О" включає невизначену константу С, кожне входження О може мати на увазі різні З, але кожна із цих констант не залежить від n.
Приклад 1: ми знаємо, що сума квадратів перших n натуральних чисел дорівнює
n = .
Можна записати n = О(n3),
тому що
для всіх цілих n. Можна одержати більше точну формулу
n = О(n2), тому що
для всіх цілих n. Можна також недбало відкинути частина інформації й записати n = О(n10).
Визначення О не змушує нас давати найкращу оцінку.
Розглянемо приклад, коли змінна n не целочисленна.
Приклад 2:
,
де х речовинне число.
Тут уже не можна сказати, що S(x) = O(x3), тому що відношення необмежено росте при х0. Не можна також сказати, що S(x) = O(x), тому що відношення необмежено росте, коли х прагне до нескінченності. Виходить, ми не можемо використовувати символ "О" для оцінки S(x).
Ця дилема дозволяється завдяки тому, що на змінні, використовувані із О, звичайно накладаються які-небудь обмеження. Якщо, наприклад, ми поставимо умову, що , або що , де - довільна позитивна константа, або що х ціле число, то ми зможемо записати S(x) = O(x3). Якщо ж накладена умова або , де з довільна позитивна константа, то в цьому випадку S(x) = O(x). "О велике" залежить від контексту, від обмежень на використовувані змінні.
Ці обмеження часто задаються у вигляді граничних співвідношень.
Визначення 2: співвідношення f(n) = O(g(n)) при n означає, що існують дві константи С и n0, такі, що
при всіх n n0.(1.1.3)
Зауваження 1: Значення С и n0 можуть бути різними для різних О, але вони не залежать від n.
Визначення 3: запис f(х) = O(g(х)) при х0 означає, що існують дві константи С и , такі, що
,якщо тільки .(1.1.4)
Тепер О представляє невизначену функцію й одну або дві невизначені константи, що залежать від контексту.
Зауваження 2: запис коректний, але в цій рівності не можна міняти місцями праву й ліву частини. У противному випадку ми можемо прийти до безглуздих висновків, на зразок n = n2, виходячи з вірних тотожностей n = О(n2) і n2 = О(n2).
Працюючи із с?/p>