Вивчення поняття "символ О"
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
О(1))
3) x = і 1 + О(е-2і) = 5 1 = 4; (не враховуємо помилку О(е-2і))
4) x = і 1 + 2е-2і+2 + О(е-4і) = 5 1 + 0,000670925…=4,000670925..... (не враховуємо помилку О(е-4і))
Точне значення, отримане стандартними чисельними методами, дорівнює 4,0006698...
Приклад 2.
Знайдемо більших позитивних корінь рівняння
x tg x = 1
Це рівняння можна звернути в такий спосіб:
,
де n ціле число, а арктангенс приймає значення в інтервалі , знаходимо, що x ~ n при (n > ).
Якщо x > 1, то [6]
1). По теоремі (2.1.2)
.
.
2).
По теоремі (2.1.2)
. Тоді .
.
3).
По теоремі (2.1.2)
. Тоді .
.
І так далі.
2.2 Асимптотичне рішення інтегралів
Приклад 1. Обчислити при х > 1.
Розкладемо в ряд [6]:
По теоремі (2.1.2)
, тобто .
Приклад 2. Обчислити при +0, , А(х) - східчаста функція: А(х) = 0 при х < 0, А(х) = Аk, k x < k + 1, Аk = а1 + а2 +…+аk , аk = k -1 . Причому .
Скористаємося асимптотичною формулою [4]
,
де - постійна Ейлера . Уведемо функцію (х) = lnx + .
.
Останній інтеграл має порядок О( ln ) при +0, а передостанній дорівнює -/2, так що
.
S() = I + J, де
.
Оцінимо інтеграл J. Нехай , тоді k 1
.
Ологарифмуємо , одержимо .
Значить
Отже,
.
Одержуємо, що
.
2.3 Асимптотичне обчислення суми ряду
При знаходженні суми ряду нерідко використовується формула підсумовування Ейлера [2]:
де
Вk числа Бернуллі, Вm({x}) багаточлен Бернуллі.
Вk = (-1)k 2k. [6]
. Коефіцієнти k обчислюються, використовуючи теорему О одиничність розкладання функції в статечної ряд:
шляхом дорівнюючи коефіцієнтів:
коефіцієнт при х: 0 = 1,
коефіцієнт при хk:
Приклад 1. Знайти .
По 1.2.10 Нk = ln k + O(1). Тоді
.
Застосуємо формулу підсумовування Ейлера:
.
Приклад 2. Знайти
Застосуємо формулу підсумовування Ейлера:
Приклад 3. Знайти асимптотику при n суми
Члени цієї суми швидко ростуть із ростом номера, так що головний член асимптотики дорівнює останньому члену суми: S(n) ~ n!, n . Дійсно,
Отже,
Література
1. Брейн, Н.Г. Асимптотичні методи в аналізі. К., 2006
2. Грехем, Р. Конкретна математика. Основи інформатики. К.,2004
3. Олвер, Ф. Введення в асимптотичні методи й спеціальні функції. К., 2004
4. Панченков, О.М. Асимптотичні методи в екстремальних задачах механіки. К., 2004
5. Федорюк, М.В. Асимптотика: інтеграли й ряди. К., 2005
6. Фихтенгольц, Г.М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. К., 2000