Векторные поля
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ихрем этого поля.
Примеры 2 (вычисление ротора векторного поля)
Вычислить ротор радиус-вектора точки
Решение
Составляем формулу (4) для и делаем вычисления:
, ,
векторное поле не обладает вращательной способностью.
Вычислить , если
Решение
Записываем проекции данного векторного поля:
,
и по формуле (4) получаем, что
Из рассмотренного примера следует, что любое векторное поле сопровождается другим векторным полем его ротора.
Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:
дивергенция - это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность, малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как
F или
Определение:
Определение дивергенции выглядит так:
где Фf - поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё боле-общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то-есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объема ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что:
Это определение не привязано к определённым координатам, например к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях.
. Формулы Грина
Пусть C - положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D - область, ограниченная кривой C. Если функции P = P(x,y), Q = Q(x,y) определены в области D и имеют непрерывные частные производные
На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая C замкнута.
Доказательство:
Пусть область D - криволинейная трапеция (область, цилиндрическая в направлении OY):
Для кривой C, ограничивающей область D зададим направление обхода по часовой стрелке. Тогда
Заметим, что оба полученных интеграла можно заменить криволинейными интегралами:
Интеграл по C1 берётся со знаком "минус", так как согласно ориентации контура C направление обхода данной части - от b до a.
Криволинейные интегралы по C2 и C4 будут равны нулю, так как
Заменим в (1) интегралы согласно (2) и (3), а также прибавим (4) и (5), равные нулю и поэтому не влияющие на значение выражения:
Так как обход по часовой стрелке при правой ориентации плоскости является отрицательным направлением, то сумма интегралов в правой части является криволинейным интегралом по замкнутой кривой C в отрицательном направлении:
Аналогично доказывается формула:
если в качестве области D взять область, правильную в направлении OX.
Складывая (6) и (7), получим:
Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то общее решение для скалярного потенциала
было бы самой удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нужны были бы ни уравнение Лапласа, ни уравнение Пуассона. Однако в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач электростатики мы имеем дело с конечными областями пространства (содержащими или не содержащими заряд), на граничных поверхностях которых заданы определенные граничные (краевые) условия. Эти граничные условия могут быть заменены некоторым соответственно подобранным распределением зарядов вне рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако приведенное выше соотношение в этом случае уже непригодно для расчета потенциала, за исключением некоторых частных случаев (например, в методе изображений).
Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо расширить используемый нами математический аппарат, а именно вывести так называемые формулы, или теоремы Грина (1824 г.). Они получаются непосредственно из теоремы о дивергенции
которая справедлива для любого векторного поля А, определенного в объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть где и - произвольные дважды непрерывнодифференцируемые скалярные функции. Тогда
И
Где нормальная производная на поверхности S (по направлению внешней нормали по отношению к объёму V). Подставляя (1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к первой формуле Грина
Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами и и вычтем её из (3). Тогда члены с произведением ократятся и мы получим вторую формулу Грина, называемую иначе теоремой Грина:
В физике и математике теорема Грина дает соотношение между линейным интегралом простой ограниченной кривой С и двойным интегралом по плоской пове