Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА
1.1 Постановка задачи
1.2 Математическая модель задачи (метод Эйлера)
1.3 Исходные данные
1.4 Численное решение уравнения методом Эйлера в Excel
2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА В EXCEL И TURBO PASCAL 7.0
2.1 Постановка задачи
2.2 Математическая модель задачи (метод Рунге-Кутта)
2.3 Исходные данные
2.4 Численное решение уравнения методом Рунге-Кутта в Excel
2.5 Блок-схема алгоритма
2.6 Программа на языке Turbo Pascal
2.7 Выполнение расчетов
2.8 Результаты расчетов
2.9 Представление результатов в виде графиков
2.10 Анализ результатов
3. МЕТОД РУНГЕ-КУТТА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.1 Постановка задачи
3.2 Математическая модель задачи
3.3 Исходные данные
3.4 Расчет контрольного варианта в Excel для тестирования
3.5 Блок-схема алгоритма
3.6 Численное решение задачи с использованием Turbo Pascal 7.0.
3.7 Выполнение расчетов
3.8 Результаты расчетов
3.9 Представление результатов в виде графиков
3.10 Анализ результатов
4. МОДЕЛЬ ТИПА ХИЩНИК-ЖЕРТВА С УЧЕТОМ ВНУТРИВИДОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
4.1 Постановка задачи
4.2 Математическая модель задачи
4.3 Исходные данные
4.4 Расчет контрольного варианта в Excel для тестирования
4.5 Блок-схема алгоритма
4.6 Численное решение задачи с использованием Turbo Pascal 7.0.
4.7 Выполнение расчетов
4.8 Результаты расчетов
4.9 Представление результатов в виде графиков
4.10 Анализ результатов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
В программе подготовки инженеров, как правило, включен ряд дисциплин, изучающих сложные физические и химические процессы. Многие из них могут описываться дифференциальными уравнениями. Математические модели реальных процессов могут быть достаточно сложными, и соответствующие задачи не решаться аналитически. В этом случае требуется решение с помощью приближенной модели или приближенных (численных) методов. Вычислительная мощность современных ЭВМ, а также их внедрение в научную и инженерную деятельность позволило решать достаточно сложные уравнения, довольно точно описывающие рассматриваемые явления, а также моделировать различные системы. Таким образом, изучение изложенных методик является важной составляющей при освоении технической специальности.
1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА
.1 Постановка задачи
Решить численно указанную задачу Коши для уравнения первого порядка методом Эйлера, используя табличный процессор Excel.
Исследовать поведение решения на отрезке [0,1.5] с начальным условием y(0)=0, числом отрезков разбиения n=15. Параметр c=0.2.
1.2 Математическая модель задачи (метод Эйлера).
По условию выполнено соотношение:
Пусть начальное значение искомой функции y(x0) =y0. Можно приближенно вычислить следующие значения, находя приращение функции через дифференциал:
Для проведения расчетов сначала вычисляется добавка к текущему значению функции для вычисления следующего: Для вычислений используются формулы:
где i = 0,1,…, n-1, x0, y0 определено из начальных условий, а f(xi, yi) - функция правой части уравнения, вычисленная в узловой точке.
1.3 Исходные данные
Отрезок изменения аргумента: [0,1.5].
Начальное условие y(a): y(0)=0.
Число отрезков разбиения: 15. Тогда шаг h=0.1.
Параметр c=0.2.
1.4 Численное решение уравнения методом Эйлера в Excel
Рассмотрим расчетную таблицу в Excel, содержащую три столбца для значений . Дадим им заголовки x, y, , расположив их в ячейках A2:C2. Для постоянных величин h, c отведем отдельные ячейки E2 и E3. Их заголовки помещены в ячейки D2 и D3.
Расчеты в таблице Excel выполняются по следующему алгоритму:
1. Вычисление первого столбца: первые два значения x = x0 и x1 = x0+h вводятся в ячейки A3 и A4, затем, выделив две эти ячейки, заполняем столбец значений x до достижения конечного значения x=1,5.
2. Затем заполним первую строку расчетной таблицы: в столбце y введем y0 в ячейку B3, в столбце введем в ячейку C3 формулу: =$E$2*(A3^2-B3^2) (вычисляется приращение функции y для текущего значения x в соответствии с формулой ).
3. Вычисление второго столбца:
вводим формулу =В3+С3 в ячейку B4 и копируем ее в ячейки B5:B18 (вычисляется новое значение функции y при изменении x на один шаг с помощью линейного приращения по формуле ).
. Вычисление третьего столбца:
копируем формулу из ячейки C3 в ячейки C4:C18
Рис. 1.1. Фрагмент рабочего листа с решением примера по методу Эйлера
2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ РУНГЕ-КУТТА В EXCEL И TURBO PASCAL 7.0
2.1 Постановка задачи
Решить численно указанную задачу Коши для уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта, используя табличный процессор Excel и с помощью программы на языке Турбо Паскаль 7.0. Построить графики решений в Excel, с помощью Мастера диаграмм. Провести анализ полученных результатов.
Исследовать поведение решения на отрезке [0,1.5] с начальным условием y(0)=