Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
решения данного уравнения в Excel методом Рунге-Кутта.
Рис. 3.5. График решения уравнений системы.
3.10 Анализ результатов
Результаты, полученные при расчете с использованием Turbo Pascal 7.0, совпадают с контрольным вариантом расчета по методу Рунге-Кутта, произведенном в Excel, что является косвенным признаком правильности решения.
4. МОДЕЛЬ ТИПА ХИЩНИК-ЖЕРТВА С УЧЕТОМ ВНУТРИВИДОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
.1 Постановка задачи
1) Решить численно задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка, являющейся моделью хищник - жертва при различных начальных условиях и различных значениях параметров системы. Величину интервала решения и шаг подобрать самостоятельно, так чтобы решение не выходило за пределы сотен единиц и давало картину поведения траекторий. Решить задачу на отрезке [0,T] .
) Решение выполнить с помощью системы Турбо Паскаль 7.* или Delphi.
) Контрольный вариант рассчитать самостоятельно вручную или с помощью Excel.
) Построить траектории системы и графики зависимости искомых функций от времени. Показать траектории при различных начальных данных в одной системе координат.
) Провести анализ поведения решений.
4.2 Математическая модель задачи
Система уравнений, описывающая динамику популяций двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-жертва и с учетом внутривидового взаимодействия:
Заданные начальные условия при t=0
4.3 Исходные данные
Начальное и конечное значение аргумента t: t0, tn.
Начальные значения неизвестных функций .
Число отрезков разбиения области интегрирования n.
t0=0, tn= 15, n=30, x0=100, x0=90, x0=85, y0=30.
Параметры:
a=0.25, b=-0.01, c=0.01, d=-1.0
Начальные данные: (100,30), (90,30), (85,30).
Таким образом, получаем систему:
4.4 Расчет контрольного варианта в Excel для тестирования.
Рис. 4.1. Расчет контрольного варианта для тестирования (для демонстрации приведено только 3 точки; специальная вставка).
4.5 Блок-схема алгоритма
Рис. 4.2. Блок-схема алгоритма решения уравнения второго порядка.
Рис. 4.3. Функция f1(x,y:real):real
Рис. 4.4. Функция f2(x,y:real):real
4.6 Численное решение задачи с использованием Turbo Pascal 7.0
Текст программы:
program rungekutt3_v3;
var,tn,x0,xi,y0,yi,h,t,x,y,k1,k2,k3,k4,l1,l2,l3,l4,a,b,c,d:real;,i:integer;,ou:text;f1(x,y:real):real;:=a*x+b*x*y;f2(x,y:real):real;:=d*y+c*x*y;(inp,'inp3.txt');(inp);(inp,t0,tn,n,x0,y0,a,b,c,d);(inp);:=(tn-t0)/n;:=t0;:=x0;:=y0;(ou,'ou3.txt');(ou);(ou,' t',' ','x',' y');(ou,t:2:1,' ',x:7:6,' ',y:7:6);i:=0 to n-1 do:=h*f1(x,y);:=h*f2(x,y);:=h*f1(x+k1/2,y+l1/2);:=h*f2(x+k1/2,y+l1/2);:=h*f1(x+k2/2,y+l2/2);:=h*f2(x+k2/2,y+l2/2);:=h*f1(x+k3,y+l3);:=h*f2(x+k3,y+l3);:=x+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;:=y+(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;:=t+h;(ou,t:2:1,' ',x:7:6,' ',y:7:6);
close(ou)
end.
4.7 Выполнение расчетов
Исходные значения должны находиться в файле inp3.txt в следующем порядке:
t0, tn, n, x0, y0, a, b, c, d.
4.8 Результаты расчетов
Результаты расчетов пишутся в файл ou3.txt.
t x y
.0 100.000000 30.000000
.5 97.561239 29.815776
.0 95.353243 29.288566
.5 93.509932 28.479413
.0 92.123606 27.469108
.5 91.246723 26.344787
.0 90.897734 25.189133
.5 91.068114 24.073624
.0 91.728650 23.055723
.5 92.834069 22.179046
.0 94.325805 21.475262
.5 96.133177 20.966690
.0 98.173439 20.668779
.5 100.351315 20.591967
.0 102.558763 20.742577
.5 104.675808 21.122501
.0 106.573439 21.727539
.5 108.119585 22.544379
.0 109.188919 23.546528
.5 109.676451 24.690050
.0 109.513570 25.910610
.5 108.683393 27.123941
.0 107.230929 28.231615
.5 105.263667 29.132734
.0 102.940443 29.739682
.5 100.450388 29.993707
.0 97.987412 29.875306
.5 95.726963 29.406092
.0 93.810121 28.642112
.5 92.336705 27.661622
.0 91.365984 26.551514
t x y
.0 90.000000 30.000000
.5 88.124156 28.394467
.0 87.012742 26.674766
.5 86.658548 24.967828
.0 87.024499 23.371275
.5 88.055005 21.953894
.0 89.682440 20.760590
.5 91.829580 19.818959
.0 94.409030 19.145673
.5 97.320635 18.751745
.0 100.447745 18.646266
.5 103.653281 18.838414
.0 106.776833 19.337464
.5 109.634518 20.150400
.0 112.023954 21.276600
.5 113.737034 22.699264
.0 114.582555 24.374201
.5 114.418204 26.218489
.0 113.186582 28.104125
.5 110.944203 29.863405
.0 107.869782 31.310759
.5 104.242954 32.278633
.0 100.396886 32.655897
.5 96.660823 32.413057
.0 93.312336 31.604059
.5 90.551709 30.346190
.0 88.499048 28.788864
.5 87.206469 27.083737
.0 86.676001 25.363928
.5 86.876414 23.734166
.0 87.755735 22.269710
t x y
.0 85.000000 30.000000
.5 83.375891 27.708055
.0 82.724512 25.446600
.5 82.981548 23.347415
.0 84.068146 21.494220
.5 85.900092 19.933744
.0 88.390379 18.688092
.5 91.447368 17.765652
.0 94.970044 17.169616
.5 98.841344 16.904054
.0 102.920315 16.977785
.5 107.034024 17.406067
.0 110.970899 18.209699
.5 114.478409 19.410485
.0 117.269715 21.021441
.5 119.045257 23.030314
.0 119.534328 25.376914
.5 118.555694 27.929736
.0 116.083872 30.474461
.5 112.293600 32.730777
.0 107.552495 34.405945
.5 102.352137 35.271435
.0 97.202394 35.227990
.5 92.534733 34.326265
.0 88.649307 32.736884
.5 85.710787 30.691654
.0 83.775361 28.425558
.5 82.827091 26.138116
.0 82.809436 23.977472
.5 83.646711 22.041294
.0 85.255835 20.386485
4.9 Представление результатов в виде графиков.
Построим графики в Excel численного решения данного уравнения.
Рис. 4.1. Траектория решения при различных исходных данных.
4.10 Анализ результатов
Из графического представления решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, описывающей динамику популяций двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-жертва и с учетом внутривидового взаимодействия, видно, что поведение системы изменяется при разных параметрах. В данном случае при изменении y (начального количества хищников) изменяется амплитуда колебаний численности обоих популяций в системе. Тем не менее, во всех трех случаях система ведет себя стабильно.
Результаты, полученные при расчете с использованием Turbo Pascal 7.0, совпадают с контрольным вариантом, рассчитанном в Excel, что является косвенным признаком правильности реше?/p>