Численное моделирование движения планет Солнечной системы
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
.1 Уравнения движения планет
.2 Движение по окружности
.3 Эллиптические орбиты
.4 Астрономические единицы
2 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРБИТЫ. ВОЗМУЩЕНИЯ
.1 Радиальные возмущения
.2 Тангенциальные возмущения
.3 Влияние солнечного ветра
.4 Возмущения в пространстве скоростей
ВЫВОДЫ
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
ВВЕДЕНИЕ
Движение планет имеет особое значение, поскольку в прошлом оно сыграло важную роль в формировании механистического взгляда на Вселенную. Немногие теории оказали столь же огромное влияние на западную цивилизацию, как ньютоновы законы движения и всемирного тяготения, связывающие в единое целое движение звезд и земных объектов.
Большую часть наших знаний о движении планет объединили в себе законы Кеплера, которые можно сформулировать следующим образом:
. Всякая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце.
. Скорость планеты возрастает по мере удаления от Солнца таким образом, что прямая, соединяющая Солнце и планету, в равные промежутки времени заметает одинаковую площадь.
. Для всех планет, вращающихся вокруг Солнца, отношение Т2 /а3 одинаково (Т - период обращения планеты вокруг Солнца, а - большая полуось эллипса).
Кеплер вывел свои законы на основании тщательного анализа данных наблюдений, которые на протяжении многих лет собирал Тихо Браге.
Первый и третий законы Кеплера касаются формы орбиты, а не зависимости скорости и координаты планеты от времени. Поскольку эти временные зависимости невозможно получить в элементарных функциях, мы вынуждены рассматривать численное решение уравнений движения планет и их спутников по орбите. Кроме того, мы обсудим влияние возмущений на характер орбиты и рассмотрим некоторые задачи, которые бросают вызов нашей интуиции в правильном понимании законов движения Ньютона.
1 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
.1 Уравнения движения планет
Движение Солнца и Земли является примером задачи двух тел. Эту задачу можно свести к задаче одного тела двумя методами. В основе самого простого метода лежит тот факт, что масса Солнца во много раз больше массы Земли. Следовательно, с хорошей точностью можно считать Солнце неподвижным и связать с ним начало системы координат. Если вы знакомы с понятием приведенной массы, то знаете, что существует и более общий метод. А именно, движение двух тел с массами т и М, полная потенциальная энергия которых зависит только от расстояния между ними, можно свести к эквивалентной задаче о движении одного тела приведенной массы , определяемой формулой
(1.1)
Поскольку масса Земли т = 5.99*1024 кг, а масса Солнца М = 1.99*1030кг, то понятно, что для большинства практических целей приведенная масса Солнца и Земли равна массе Земли. Поэтому ниже мы рассмотрим только задачу об одной материальной точке массой т, движущейся вокруг неподвижного силового центра, который мы примем за начало системы координат.
Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что частица массой М притягивает другую частицу массой т с силой
,(1.2)
где вектор r направлен от тела с массой М к телу с массой m, a G - постоянная тяготения, которая равна G = 6.67*10-11 м3/кгс-2 .
Отрицательный знак в формуле (1.2) означает, что гравитационная сила является силой притяжения, т.е. стремится уменьшить расстояние r между телами.
Закон (1.2) относится только к телам пренебрежимо малых пространственных размеров. Ньютон не публиковал свой закон всемирного тяготения 20 лет, хотя он изобрел интегральное исчисление и показал, что закон (1.2) применим также к любой однородной сфере или массовой сферической оболочке, если расстояние r измерять от центра каждой массы.
У силы тяготения имеются два свойства общего характера: ее величина зависит только от расстояния между телами, а направление совпадает с линией их соединяющей. Такие силы называются центральными. Из предположения о центральности силы следует, что орбита Земли лежит в плоскости (х-у), а угловой момент L сохраняется и направлен по третьей оси (z). Запишем Lz в виде
,(1.3)
где использовано определение векторного произведения L = [rp], а p = mv. Кроме того движение ограничивается условием сохранения полной энергии E, равной
(1.4)
Рисунок 1.1 - Тело массой m движется под действием центральной силы F
Если связать систему отсчета с телом массой М, то уравнение движения примет вид
(1.5)
В результате уравнения движения в декартовых координатах принимают вид
,(1.6)
,(1.7)
где r2=x2+y2.
.2 Движение по окружности
Поскольку большинство орбит мало отличается от круговых, полезно получить условия движения тел по круговой орбите. Величина ускорения а связана с радиусом круговой орбиты r и скоростью тела v соотношением
.(1.8)
Ускорение всегда направлено к центру и обусловлено гравитационной силой. Следовательно, имеем
(1.9)
или
.(1.10)
Выражение (1.10), связывающее радиус и скорость, и есть общее условие любой круговой орбиты.
Можно также найти зависимость периода Т от радиуса круговой орбиты. Используя соотношение
(1.11)
вместе с формулой (1.10), получим
.(1.12)
Формула (1.12) представляет собой частный случай третьего зако?/p>