Численное моделирование движения планет Солнечной системы
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
?а Кеплера, поскольку радиус r соответствует большой полуоси эллипса.
1.3 Эллиптические орбиты
Поскольку известно, что наиболее общим видом орбиты является эллипс, подводя итог нашему обсуждению, опишем свойства эллиптической орбиты. Простое геометрическое определение параметров эллипса приведено на рис. 1.2. Оба фокуса эллипса, F1 и F2, обладают тем свойством, что для любой точки Р лежащей на этой кривой, сумма расстояний от фокусов F1P + F2Р постоянна.
Рисунок 1.2 - Определение эллипса с помощью большой и малой полуосей а и b
В общем случае у эллипса имеются две неравные взаимно перпендикулярные оси. Более длинная ось называется большой осью; половина этой оси - большая полуось а. Короткая ось называется малой осью эллипса; малая полуось b в два раза короче. В астрономии принято описывать эллиптическую орбиту величиной а и эксцентриситетом е, который равен отношению расстояния между фокусами к длине большей оси. Поскольку F1Р + F2Р = 2а, то легко показать (рассмотрев точку Р с координатами х = 0, у = b), что
(1.13)
причем 0 < е < 1. В частном случае b = а эллипс превращается в окружность и e = 0. Величина эксцентриситета для орбиты Земли равна 0.0167.
.4 Астрономические единицы
Поскольку работать на компьютере с очень малыми или очень большими числами (например, G и М) по меньшей мере неудобно, желательно выбрать такую систему единиц, в которой величина произведения GM была бы порядка единицы.
Рассмотрим движение спутника по орбите вокруг Земли. В этой задаче удобно измерять расстояние в единицах радиуса Земли R = 6.37*106 м. Время измеряется в часах. В таких земных единицах (з.е.) численное значение постоянной тяготения равно
(1.14)
Поскольку сила, действующая на спутник, пропорциональна Gm (т - масса Земли), то необходимо вычислить численное значение произведения Gm в земных единицах. Получим
(1.15)
2 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРБИТЫ. ВОЗМУЩЕНИЯ
.1 Радиальные возмущения
Предположим, что спутник, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, испытывает легкий удар или импульс силы в радиальном направлении (рис. 2.1, а).
Рисунок 2.1 - Импульс силы приложен в радиальном (вертикальном) направлении (а). Импульс силы приложен в тангенциальном (горизонтальном) направлении (б)
Величина удара была выбрана для круговой орбиты с радиусом, равным 1, и шагом по времени 0.01. Следовательно, если мы хотим сообщить радиальный импульс силы, мы должны прикладывать его в тот момент, когда спутник находится в положении, показанном на рис. 2.1,а (текст программы см. в прил. А)
Рисунок 2.2 - Результат численного моделирования радиального возмущения (центральная орбита - круговая до возмущения, правая - возмущение направлено против оси y, левая - возмущение направлено по оси y)
Как видно из рис. 2.2 орбита спутника после возмущения становится устойчивой эллиптической. Изменение орбиты зависит прямо пропорционально силе удара и его длительности. Полная энергия системы и угловой момент не меняются.
.2 Тангенциальное возмущение
Предположим, что спутник, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, испытывает легкий удар или импульс силы в касательном направлении (рис. 2.1,б). Величина удара была выбрана для круговой орбиты с радиусом, равным 1, и шагом по времени 0.01. Следовательно, если мы хотим сообщить тангенциальный импульс силы, мы должны прикладывать его в тот момент, когда спутник находится в положении, показанном на рис. 2.1,б (текст программы см. в прил. А)
Рисунок 2.3 - Результат численного моделирования тангенциального возмущения (центральная орбита - круговая до возмущения, внутренняя - возмущение направлено против оси х, внешняя - возмущение направлено по оси х)
Как видно из рис. 2.3 орбита спутника после возмущения становится устойчивой эллиптической. Изменение орбиты зависит прямо пропорционально силе удара и его длительности. Полная энергия системы и угловой момент не меняются.
Орбиты в случае силы, обратно пропорциональной кубу расстояния, под действием радиальных или тангенциальных возмущений неустойчивы - спутник либо падает на планету, либо покидает ее. (см. рис. 2.4-5).
.3 Влияние солнечного ветра
Предположим, что на спутник помимо силы притяжения Земли действует в горизонтальном направлении слабая постоянная сила величиной W обусловленная солнечным ветром (рис. 2.6).
Рисунок 2.4 - Результат численного моделирования тангенциального возмущения в случае силы, обратно пропорциональной кубу расстояния (центральная орбита - круговая до возмущения, внутренняя - возмущение направлено против оси х, внешняя - возмущение направлено по оси х)
Рисунок 2.4 - Результат численного моделирования радиального возмущения в случае силы, обратно пропорциональной кубу расстояния (центральная орбита - круговая до возмущения, внутренняя - возмущение направлено против оси у, внешняя - возмущение направлено по оси у)
Рисунок 2.6 - Как изменится орбита под действием солнечного ветра?
Уравнения движения можно записать в следующем виде
,(2.1)
.(2.2)
Выберем начальные условия так, чтобы для W = 0 орбита была круговой. Затем положим величину W равной приблизительно 3% от ускорения, обусловленного гравитационным полем, и численно про моделир