Формула Грина
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
следует из формулы Грина). Обозначив получим написанное условие в виде
откуда имеем равенство
Левая часть этого равенства не зависит от ? и ?, поскольку правая его часть зависит только от х и у, следовательно,
Из условия получаем равенство справедливо лишь в том случае, когда
дважды непрерывно дифференцируемые функции. Окончательно находим:
Задача 6.
Вычислить
где ? - простой замкнутый контур, не проходящий через начало координат, пробегаемый в положительном направлении.
Решение:
Если контур ? не окружает начало координат, то применив формулу Грина, получу:
Если контур ? окружает начало координат, то применять формулу Грина нельзя, поскольку область D в этом случае неодносвязна. В этом случае будем вычислять интеграл I непосредственно.
Обозначу через w дифференциальное выражение под знаком интеграла I. Покажем, что интеграл
не зависит от выбора кривой ?, окружающий начало координат.
Пусть ?1 и ?2 - произвольные непересекающиеся замкнутые гладкие или кусочно-гладкие контуры, окружающие начало координат и ограничивающие простую область При положительной ориентации границы области D направления обхода кривых ?1 и ?2 будут противоположны
Двухсвязная простая область D не содержит особой точки подынтегрального выражения w, поэтому, согласно формуле Грина, имею:
откуда следует равенство
показывающее, что интеграл I не зависит от выбора замкнутой кривой ?, окружающей начало координат. Взяв окружность
получим:
Задача 7.
Найти с помощью формулы Грина площадь, ограниченную эллипсом
Решение:
Воспользуемся формулой (следствие из формулы Грина)
и стандартной параметризацией эллипса
Г =
Задача 8.
Вычислить криволинейный интеграл
Где Г - верхняя полуокружность
Решение:
Обозначим дополним контур Г до замкнутого контура L отреком оси Ох, соединяющим концы полуокружности О(0, 0) и А(а, 0). Тогда
Задача 9.
Используя формулу Грина, вычислить интеграл . Кривая C представляет собой окружность , обход которой производится против часовой стрелки.
Решение.
Запишем компоненты векторного поля и их производные:
Тогда
где R ? круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:
Задача 10.
Используя формулу Грина, найти интеграл , где кривая C представляет собой эллипс
Решение.
Применим формулу Грина
Очевидно, здесь
Следовательно,
Поскольку двойной интеграл численно равен площади эллипса , то интеграл равен
Задача 11.
Вычислить интеграл с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность .
Решение.
Компоненты векторного поля и их частные производные равны
Тогда по формуле Грина получаем
Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам.
Здесь
Таким образом, интеграл равен
Заключение
В данной курсовой работе я рассмотрела формулу Грина и смежные понятия, мною были подобраны и разобраны упражнения по данной теме. Подводя итог курсовой работы можно сказать, что поставленная цель достигнута.
При выполнении данной курсовой работы были решены, поставлены задачи и выполнено следующее:
.Выполнен анализ литературы по теме исследования.
.Выделены основные теоретические понятия, используемые в работе.
.Изучены основные способы решения задач.
.Подобраны и решены задачи по данной теме.
Список литературы
1.Демидович Б.П. сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб.пособие. - 13-е изд., испр. - М.: Изд-во Моск. Ун-та, ЧеРо, 1997. - 624с.
2.Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1966.
.Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.
.Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.
5...-.:,1971.">Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. - М.: Мир, 1971.
.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды. Учебник. - 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 400 с.
.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.III. М., Наука, 1956.- 656 стр. с ил.