Формула Грина
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
.">Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса " при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат.
3. Вывод формулы Грина из формулы Стокса
Формула Кельвина - Стокса
Пусть ? - (">кусочно-гладкая поверхность (вихря) поля через поверхность ?, ограниченную контуром:
или в координатной записи:
Вывод из теоремы Стокса:
">Рассмотрим дифференциальную форму .
Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы :
Отсюда, используя теорему Стокса:
Вывод формулы Грина из формулы Стокса:
">Определяя дифференциальную форму :
Принимая во внимание, что
и :
Отсюда используя теорему Стокса:
4. Применение формулы Грина
Задача 1.
Применяя формулу Грина, вычислить следующий криволинейный интеграл:
где С - пробегаемый в положительном направлении контур, ограничивающий область D = {(x,y) 0<x<?, 0<y<sinx.}
Решение:
По формуле Грина, имею:
Задача 2.
На сколько отличаются друг от друга криволинейные интегралы
где AmB - отрезок прямой, соединяющий точки А=(1, 1) и В=(2, 6), AnB - дуга параболы с вертикальной осью, проходящей через те же точки А, В и начало координат? формула грин криволинейный интеграл
Решение:
Уравнение параболы, проходящей через начало координат и точки А, В, имеет вид а разность I2 ? I1 является криволинейным интегралом по замкнутому контуру AnBmA, ограничивающему область и пробегаемому в положительном направлении, в силу чего можем применить формулу Грина:
Следовательно, I1 - I2=2.
Задача 3.
Вычислить криволинейный интеграл
где AmO - верхняя полуокружность, заданная уравнением x2+y2=ax, пробегаемая от точки А (а, 0) до точки О (0, 0).
Решение:
На сегменте [0, а] подынтегральное выражение равно нулю, поэтому интеграл кривой AmO равен интегралу по замкнутому контуру AmOА, состоящему из кривой AmO и сегмента [0, а], ограничивающему область D =
в силу чего могу применить формулу Грина:
Задача 4.
Вычислить криволинейный интеграл
где ?(у) и ??(у) - непрерывные функции и AmB - произвольный путь, соединяющий точки А(х1, у1) и В(х2, у2), но ограничивающий вместе с отрезком АВ площадь AmBA фигуру D, площадь которой равна данной величине Р.
Решение:
Интеграл по кривой AmB представлю в виде суммы интегралов по замкнутому контуру AmBA и по отрезку АВ.
Интеграл I1 вычислим, применив формулу Грина:
Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральное выражение к виду
где du - полный дифференциал некоторой функции. Следовательно,
где первый интеграл в правой части этого равенства не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки А и В. Таким образом,
На отрезке АВ выполняется равенство
в силу чего имеем
Складывая полученные значения интегралов, окончательно найдём:
Задача 5.
Определить две дважды непрерывно дифференцируемые функции так, чтобы криволинейный интеграл
для любого замкнутого контура ? не зависит от постоянных ? и ?.
Решение:
Если функции P и Q удовлетворяют поставленному условию, то должно выполнятся равенство
для любого замкнутого контура ?, в силу чего имеем
где
Для того, чтобы криволинейный интеграл I1 по любому замкнутому контуру ? был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы в односвязной области, ограниченной этим контуром, и на самом контуре выполнялось равенство (которое