Учет и анализ эффективности использования основных средств ООО "Завод керамических материалов"
Курсовой проект - Менеджмент
Другие курсовые по предмету Менеджмент
fk = (Хk,t) = 131 (t + 1), если Хk = Xс,
960 829 x 2-t, если Хk = Xз, k = 1,2,3,4. (26)
(При Хс затраты только на эксплуатацию машины возраста t, при Хз машина продается (-829 х 2-t), покупается новая (829) и эксплуатируется в течение первого года (131), общие затраты равны (-829 х 2-t + 829 + 131)).
Пусть Zk (t) условные оптимальные затраты на эксплуатацию машины, начиная с k-го шага до конца, при условии, что к началу k-го шага машина имеет возраст t лет. Запишем для функций Zk (t) уравнения Беллмана, заменив задачу максимизации на задачу минимизации:
Z5 = min 131 (t + 1) 829 x2-(t+1), если Х5 = Хс,
960 - 829 x2-t - 829 x2-(t+1) , Х5 = Хз (27)
Величина 829 х 2-(t+1) стоимость машины возраста t лет (по условию машина после 5 лет эксплуатации продается).
Zk = min 131 (t + 1) + Zk+ 1(t+1), если Хk = Хс,
960 - 829 x2-t + Zk+ 1(t+1), если Хk = Хз, k = 4,3,2,1. (28)
Из определения функций Zk (t) следует:
Zmin = Z1 (0).
Решение задачи имеет геометрический вид. На оси абсцисс откладывается номер шага k, на оси ординат - возраст t машины.
Точка (k 1, t) на плоскости соответствует началу k-го года эксплуатации машины возраста t лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на k-м шаге показано на рисунке 1.
Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке s*0 (0; 0), конец точкам s (6; t). Любая траектория, переводящая точку s (k 1; t) из s*0 в s, состоит из отрезков шагов, соответствующих годам эксплуатации.
Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.
Хс
131(t+1)
960-829x2- t
Xз
Рисунок 1 Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на k-м шаге
Над каждым отрезком, соединяющим точки (k 1; t) и (k; 1 + t), запишем соответствующие управлению Хс затраты, найденные из (14): 131(t+1), а над отрезком, соединяющим точки (k1; t) и (k; t), запишем затраты, соответствующие управлению Хз, то есть 960 829 x 2 t.
Таким образом, мы разметим все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния sk-1 в состояние sk на рисунке 2.
Рисунок 2 - Экономико-математическая модель оптимизации процесса управления основными средствами
Например, над отрезками, соединяющими точки (k; 2) и (k + 1; 3), стоит число 393, что соответствует затратам на эксплуатацию в течение каждого года машины возраста t = 2 лет, а над отрезками, соединяющими (k; 2) и (k + 1; 1), стоит число 752 это сумма затрат на покупку машины и эксплуатацию новой машины в течение года без затрат (выручки) за проданную машину возраста t лет. Следует учесть, что .
Проведем на размеченном графе состояний (Рисунок 2) условную оптимизацию. Начальные состояния точки (4; t), конечные (5; t).
В состоянии (5; t) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 829 x 2-t, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5; t) поставим величину дохода со знаком минус.
Состояние (4; 1). Из него можно попасть в состояние (5; 2), затратив на эксплуатацию машины 262 и выручив затем от продажи 207,25, то есть суммарные затраты равны 54, 75, и в состояние (5; 1) с затратами 545,5 414,5 = 131. Значит, если к последнему шагу система находилась в точке (4; 1), то следует идти в точку (5; 2) (укажем это направление выделенной стрелкой), а неизбежные минимальные затраты, соответствующие этому переходу, равны 54,75 (поместим эту величину Z*5 (1) = 54,75 в кружке точки (4; 1).
Состояние (4; 2). Из него можно попасть в точку (5; 3) с затратами 393 103,63 = 289,57 и в точку (5; 1) с затратами 752,75 414,5 =338,25. Выбираем первое управление, отмечаем его выделенной стрелкой, а Z*5 (2) = 289,57 проставляем в кружке точки (4; 2).
Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнего шага, мы найдем для любого исхода IV шага оптимальное управление на V шаге, отметим его на рисунке 2 выделенной стрелкой.
Далее планируется IV шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться система в конце III шага с учетом оптимального продолжения до конца процесса, то есть, решается для всех при k = 4 уравнения. Например, если начало IV шага соответствует состоянию (3; 1), то при управлении Хс система переходит в точку (4; 2), затраты на этом шаге 262, а суммарные затраты за два последних шага равны 262 + 289,57 = 551,57. При управлении Хз затраты за два шага равны 545,5 + 54,75 = 600,25.
Выбираем минимальные затраты 551,57, ставим их в кружок точки (3; 1), а соответствующие управления на этом шаге помечаем выделенной стрелкой, ведущей из состояния (3; 1), в состояние (4; 2). Так поступаем для каждого состояния (3; t).
Продолжая условную оптимизацию III, II и I шагов, получаем на рисунке 2 следующую ситуацию: из каждой точки (состояния) выходит стрелка, указывающая, куда следует перемещаться в данном шаге, если система оказалась в этой точке, а в кружках записаны минимальные затраты на переход из этой точки в конечное состояние.
На каждом шаге графически решалось уравнение. После проведения условной оптимизации получим в точке (0; 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в течение 5 лет с последующей продажей: Zmin = 2526,32.
Далее строится оптимальная траектория, перемещением из точки s0 (0; 0) по двойным стрелкам в s. Получается набор точек:
который соответствует оптимальному управлению Х* (Хс, Хс, Хз, Хс, Хс). Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале третьего года.
Таким образом, размеченный график (сеть) позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом динамического программирования.
Модели