Устойчивость плазмы в магнитных ловушках
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
В°льного угла ? выбирается так, чтобы единичные векторы составляли правую тройку, r = r (?,?) - расстояние до оси от точки на силовой линии ? = const; якобиан J (?,?) удовлетворяет вне проводников уравнению
, (8)
где . Это уравнение получается взятием циркуляции по контуру, ограничивающему площадку d?d? в плоскости ? = const, с учетом (7). Выбор ? не однозначен (преимущество того или иного выбора здесь не обсуждается), и от него зависит граничное условие для J, поскольку решение (8) содержит произвольный множитель ? (?).
В дальнейшем равновесное состояние iитается заданным, то есть функции r (?,?), B (?,?), J (?,?), (?, B (?,?)) известными.
Потенциальная энергия возмущения
Исходим из выражения для потенциальной энергии МГД-возмущения [29]
, (9) где
, (10)
,
, , -
смещение элемента плазмы поперек , , ; ? и ? iитаются положительными (тем самым исключаются источники неустойчивостей, в случае ?/?? = 0 именуемых, соответственно, шланговой и зеркальной); кинетическое слагаемое
=, (11)
интегрирование по длине вдоль силовой линии в (11) ведется между точками поворота частицы, а для пролетных частиц в случае замкнутой силовой линии - по всей ее длине. Присутствующая в (10), (11) величина q выражается через коэффициенты Ламе [30]
(12)
и связана с кривизной силовой линии : именно, .
Функционал W для азимутальной моды m
Записав компоненты смещения в виде [17]
, , (13)
m ? 1 (выбор начала отiета ? и фазы ?0 роли не играет), и перейдя в (11) от переменных к переменным , после интегрирования по ? будем иметь
, , (14) где
плазма магнитная ловушка устойчивость
, (15)
, (16)введены обозначения
, (17)
, (18)
, (19)
- значение поля в минимуме на силовой линии ? = const. Нижний предел интегрирования по ? в (16) в случае открытой ловушки равен , где - поле в пробке, а в случае замкнутых силовых линий, когда есть пролетные частицы, предел . В дальнейшем будем полагать , имея в виду, что в случае открытой ловушки величина (17) равна в интервале (в конусе потерь) нулю. Для изотропной функции распределения эта величина не зависит от и равна давлению , выражение (15) сводится к формуле (6.16) (c ) статьи [17], а (16) переходит в выражение (27.3) работы [19]. Стабилизирующее действие неоднородности поля существенно, если кинетический член (16) сравним по величине с "гидродинамическим" слагаемым (15).
Преобразование кинетического слагаемого
Преобразуем кинетический член к другой форме. Заметим, что величина стоит в (16) только в сумме с . Используем обозначение
. (20)
Перепишем (16) как
(21)
и изменим в (21) порядок интегрирования по и . Область интегрирования показана на рис.1.
Рис.1. Область интегрирования в плоскости в интеграле (21).
Получим
, (22)
где [] - интервал изменения ? в ловушке. Далее вернемся к записи величины , фигурирующей в (22), в виде (18) и поменяем порядок интегрирования по ? и координате ? (см. рис.2).
Рис.2. Область интегрирования в плоскости в интеграле (22).
Придем к выражению
, (23)
в котором ядра суть
, (24)
(25)
(26)
, (27)
где
, (30)
а величина равна
(31)
то есть
. (31а)
Анизотропия распределения частиц проявляется в представлении кинетического члена в форме (23) тем, что вносит зависимость множителя P в (30) от ?; в случае изотропного распределении будет, как уже говорилось, просто , этот случай рассматривался в [26].
Поскольку и входят в (31а) равноправно, после переименования переменных в слагаемом с в (23) окончательно имеем
(32)
Условие устойчивости
Для устойчивости достаточно, чтобы при любом ? величина в (14) была для возмущений неотрицательна. Примем нормировку
, (33)
где - положительная функция. Поскольку мы интересуемся только знаком на каждой магнитной поверхности, конкретный вид C (?) (характер локализации возмущения по ?) для дальнейшего не существен, важна лишь положительность этой величины. Условие устойчивости будет соблюдено, если для каждого ? при нормировке (33) не отрицателен минимум функционала относительно варьирования зависимостей и от ?, или, что эквивалентно, не отрицателен минимум функционала
. (34)
В выражении для азимутальное число m содержится в (15). Слагаемое с m положительно и стремится к нулю при m > ?. Имея в виду получить наиболее жесткое среди возможных m условие устойчивости, положим (как в [17]) m >>1 и данное слагаемое опустим. При этом компонента будет входить в , как и в , только в комбинации .
Функционал при m > ? назовем.
Обозначим интересующий наiерез . Этот минимум достигается на компонентах смещения (13), удовлетворяющих уравнениям Эйлера. При варьировании в (34) принимаем во внимание в случае замкнутых силовых линий ("длиной" ) требование
, (35)
а в случае открытой ловушки поставим на торцах граничные условия
(36)
(эти условия допускают существование желобковых и баллонных мод). В обоих случаях приходим к уравнению Эйлера
. (37)
Варьирование дает второе уравнение Эйлера
. (38)
В случае изотропного ?/p>