Труды Эйлера
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
далее.
В только что названной статье Эйлер сначала выводит уравнение (1) колебания струны. Затем он формулирует требование отыскания общего решения этого уравнения при произвольно заданной фигуре струны. О начальной скорости струны прямо не говорится, но из дальнейших выкладок вытекает, что она iитается равной пулю. При этих условиях Эйлер нашел решение, которое, по его собственному признанию, по форме существенно не отличается от решения Даламбера. Эйлер решил уравнение (1) при любом постоянном а, и потому его решение имеет вид
у = ? (х + at) + ?(х - at),(2)
где ? и ? - функции, определяемые из граничных и начальных условий задачи так же, как это сделано у Даламбера.
В 1766 г. Эйлер предложил новый метод решения уравнения колебании струны, вошедший затем в третий том его Интегрального иiисления (1770), а позднее - во все учебники по дифференциальным уравнениям. Вводя новые координаты:
u= х + at, v = х - at,
он преобразовал уравнение (1) колебания струны к легко интегрируемому виду
По современной терминологии координаты u и v Эйлера называются характеристическими. В этих координатах от вторых производных функции остается только смешанная производная.
Эйлер первый понял, что уравнение колебания струны отражает процесс распространения волн. Волной при этом называют процесс передвижения отклонения какой-либо точки струны по струне.
.3Обобщение Эйлером теоремы Ферма
В последней статье Эйлер обобщил теорему Ферма, установив (в обозначениях, ведущих свое происхождение от Гаусса), что
a?(m) ? 1 (mod m),
где ?(m) есть число чисел, взаимно простых с m и меньших m.Встречающееся здесь число ? (m), которое по предложению Гаусса называют теперь функцией Эйлера, последний представил в той же работе в виде
? (m)=m(1-1/p) (1-1/p,)тАж,
где р, p,,тАж - простые делители числа m. Если m само есть простое число, то числа 1, 2, 3,..., (р - 1) будут с ним взаимно простыми, и получается важная теорема, высказанная Дж. Вильсоном и опубликованная в 1770 Варингом в его Алгебраических размышлениях.Теорема эта гласит, что величина 1*2*3... (р-1)+1 делится без остатка на p, где р, как и всюду здесь, - простое число. Эта теорема, как и теорема Ферма, заключается в установленном Лагранжем общем сравнении
xp-1 - 1 ? (x + l) (x + 2)...(x + р - 1) (mod р)
при x = 0. Она была также доказана Эйлером (Аналитические сочинения, I, 1783) и Гауссом (Арифметические исследования, 1801). Упрощенное доказательство теоремы Ферма дал еще И.Г. Ламберт, охотно занимавшийся и теорией чисел (Nov. Acta Enid., 1769).
К важнейшим достижениям в исследовании целых чисел Эйлера привели старания доказать другую, упоминавшуюся уже, теорему Ферма о том, что всякое простое число вида 4т + 1 разбивается на сумму двух квадратов. Эйлер многократно и с различных сторон подходил к этой теореме и при этом нашел ряд интересных предложений. Окончательно доказать ее Эйлеру удалось лишь в 1749 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760)], воспользовавшись тем ходом мыслей, которым он шел в первом доказательстве теоремы о сравнении аm ? 1 (mod р). Это привело его к рассмотрению остатков от деления квадратов 12, 22, З2,..., (р-1)2на простое число р. Эйлер немедленно увидел, что при этом получаются многие замечательные свойства, изучение которых проливает немало света на природу чисел. Таким образом, он впервые поставил вопрос о квадратичных вычетах и понял их значение. Здесь уже встречаются и термины: вычеты (residua) и невычеты (поп residua).
.4Формула Эйлера
Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:
eix = cosx + isinx
где e - основание натурального логарифма, i - мнимая единица.
Формула Эйлера впервые была приведена в книге Гармония мер английского математика, помощника Ньютона, Роджера Котса (1722 год, издана посмертно). Котс открыл формулу около 1714 года и выразил её в логарифмической форме:
ln(cosx + isinx) = ix
Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге Введение в анализ бесконечно малых (1748), построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя.
Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.
Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид
z = r(cos? + isin?)
На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:
z = rei?
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь
r = |z|, ? = argz
Cписок использовавшихся источников
1.Юшкевич А.П., История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/ А.П. Юшкевич.- М.: Наука, 1972. - 496
2.Юшкевич А. П., История математики от Декарта до середины XIX столетия/ А.П. Юшкевич.- М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. - 467
.