Теоретические распределения данных
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
?ероятности обнаружить значения случайной переменной в пределах интервала.
clear, clc, close(0,2,3)
P =0.0668 0.9332 0.8664
Проверим последний результат обращением к файл-функции NormFig, которая вычисляет вероятности на основании использования высокоуровневой функции normpdf
clear, clc, close(0,2, - 3,3)
P =0.86639
2. Обратная кумулятивная функция нормального распределения
Обратная кумулятивная функция нормального распределения, являющаяся решением интегрального уравнения
х=F-1 (p|, ?), где р=F (x|, ?),
определена файл-функцией norminv (F, mu, sigma):
Квантиль xq уровня q, вычисляют решением уравнения
F(xq|, ?)=.
Построить графики функций обратных кумулятивных нормальных распределений с параметрами =0 и ?=1,2,3 (рис. 1.14).
F=0:0.001:1;=0; sigma=1;sigma<=3=norminv (F, mu, sigma);(F, x, k, LineWidth, 1.5), hold on=sigma+1;
end
%( Обратное нормальное распределение, \mu=0, \sigma=var)
xlabel ( F )( x(F) )(0.88, 0.35, \sigma_1=1);(0.85, 1.8, \sigma_2=2); (0.8, 3.5, \sigma_3=3);
Связь функций кумулятивного и обратного кумулятивного распределений иллюстрируется следующими двумя алгоритмами.
x=-4:0.1:4;=0; sigma=1;sigma<=3=norminv (normcdf(x, mu, sigma), mu, sigma);(x, xnew, k, LineWidth, 1.5), hold on=sigma+1;
%( x )( x )(x=norminv (normcdf(x, mu, sigma), mu, sigma))=0:0.1:1;=0; sigma=1;sigma<=3=normcdf (norminv(F, mu, sigma), mu, sigma);(F, Fnew, k, LineWidth, 1.5), hold on=sigma+1;
%( F )
ylabel ( F )
title ( F=normcdf (norminv(F, mu, sigma), mu, sigma))
Построить файл-функцию для вычисления и графической иллюстрации квантилей нормального распределения с параметрами и ?. Уровни квантилей задать вектором q= [q, q2, q3…].
function quantileMy (mu, sigma, q)
%(Уровни квантилей), q(Квантили, вычисленные функцией norminv)
xq=norminv (q, mu, sigma)
%=0:10^-5:1; x=norminv (F, mu, sigma);
disp (Квантили, вычисленные функцией quantile)=quantile (x, q)(Уровни процентилей)=q*100(Процентили, вычисленные функцией prctile)
xp=prctile (x, p100)(F, x, k, LineWidth, 1.5);(gca, XTick, q)(gca, YTick, xq)([0 1 mu-4 mu+4])( x(F) )
ylabel ( F )(Квантили распределения N (\mu=5, \sigma=1))
Например:
mu=5; sigma=1; q=[.05 0.25 0.5 0.75 0.95](mu, sigma, q)
Уровни квантилей
q =0.0500 0.2500 0.5000 0.7500 0.9500
Квантили, вычисленные функцией norminv
xq =3.3551 4.3255 5.0000 5.6745 6.6449
Квантили, вычисленные функцией quantile
xq =3.3551 4.3255 5.0000 5.6745 6.6449
Уровни процентилей
p100 =5 25 50 75 95
Процентили, вычисленные функцией prctile
xp =3.3551 4.3255 5.0000 5.6745 6.6449
Например, квантиль x0.25 распределения N (5,1) говорит о том, что значению F=0.25 кумулятивной функции распределения соответствует значение случайной величины, равное х0.25=4.3255.
Для нормального распределения с параметрами =0 и ?=1, используя высокоуровневую функцию disttool, предоставляющую графический интерфейс для интерактивной работы с функциями pdf и cdf, вычислить: 1) значение функции распределения (плотности вероятности, pdf) для значения случайной величины х=0.75; 2) значение кумулятивной функции (cdf) распределения для значения случайной величины х=0.75;
) значение случайной величины x0.75 для значения F=0.75 обратной кумулятивной функции
(т.е. квантили уровня q=0.75).
Вводя в командное окно MATLAB оператор
disttool
Сравнивая значение квантили х0.75=0.67449=0.6745 распределения N (=0,?=1), полученное в окне на рис. 1.20, со значением квантили =5.6745, найденной в предыдущей задаче, нетрудно заметить, что они связаны простым соотношением:
=5.6745-5 = 0.6745,
где символом у обозначено, что взята квантиль распределения другой переменной.
Примечание. Графический интерфейс disttool позволяет работать только с функциями pdf и cdf. Но в графическом окне для функции, cdf предоставлена возможность изменения значений как аргумента, так и функции, что делает избыточным построение графика обратного кумулятивного распределения (inv).
Инструмент disttool является чрезвычайно эффективным средством в освоении характерных черт различного рода статистических распределений.
Подойдем к вопросу связи квантилей разных распределений более подробно и одновременно для разнообразия воспользуемся идеей файл-функции disttool вычислять квантили с их графической иллюстрацией на основании функции cdf.
Построить файл-функцию для вычисления и графической иллюстрации с помощью функции cdf квантилей двух нормальных распределений N(1, ?1) и N(1, ?1). Уровни квантилей задать векторами q1=[q11,q12,q13…] и q2=[q21,q22,q23…].
function quantileMy2 (mu1, sigma1, q1, mu2, sigma2, q2)
%(2,1,1)=norminv (q1, mu1, sigma1)=mu1-3*sigma1:10^-5:mu1+3*sigma1;=normcdf (x1, mu1, sigma1);(x1, F1,k, LineWidth, 1.5);(gca, XTick, xq1), set (gca, YTick, q1)([mu1-3*sigma1 mu1+3*sigma1 0 1])( x )( F(x) )
title (Квантили распределения N (\mu_1, \sigma_1))
subplot (2,1,2)=norminv (q2, mu2, sigma2)=mu2-3*sigma2:10^-5:mu2+3*sigma2;=normcdf (x2, mu2, sigma2);(x2, F2,k, LineWidth, 1.5);(gca, XTick, xq2), set (gca, YTick, q2)([mu2-3*sigma2 mu2+3*sigma2 0 1])( x )( F(x) )
title (Квантили распределения N (\mu_2, \sigma_2)).
Заключение
В заключение главы отметим, что представленные алгоритмы решений задач по темам непрерывных и дискретных распределений, в которых мы ограничились нормальным, логнормальным распределениями, распределением Пуассона и биномиальным распределением, задают основу для анализа произвольного статистического распределения.