Теоретические распределения данных
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
?ссово) распределение
Функция плотности вероятности
Базовая роль нормального распределения N (, ?) в анализе статистических данных связана с тем, что если результаты наблюдений определяются большим числом факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо мало, то такой массив данных хорошо аппроксимируется нормальным распределением с соответствующим образом подобранными величинами среднего и стандартного отклонения.
Нормальное распределение находит применение в анализе
- результатов большинства физических измерений,
- финансово-экономических данных и маркетинговых исследованиях,
- данных, полученных в результате исследования технологических, социальных, экологических и других процессов.
Функция плотности вероятности нормального распределения
f (x|, ?)=
со средним значением случайной переменной х и стандартным отклонением ? представлена в MATLAB файл-функциями normpdf (x, mu, sigma) или pdf (Normal, x, mu, sigma).
Построить графики плотностей нормальных распределений со средним значением
= 0 и стандартными отклонениями ?= 1,2,3 (рис. 1.1).
x=-4:0.1:4;=0; sigma=1;sigma<=3=normpdf (x, mu, sigma);
%f = pdf (Normal, x, mu, sigma);(x, f, k, LineWidth, 1.5)on=sigma+1;(Плотность нормального распределения,\mu=0, \sigma=var)( x )( f )(-0.25, 0.38, \sigma_1=1);(-0.25, 0.18, \sigma_2=2);(-0.25, 0.12, \sigma_3=3);
Из рис. 1.1 следует, что увеличение стандартного отклонения приводит к расплыванию плотности распределения случайной переменной.
Построить графики плотностей нормальных распределений со средними значениями = 0,1,2 и стандартным отклонением ?= 1 (рис. 1.2).
x=-4:0.1:4;=0; sigma=1;mu<=2=normpdf (x, mu, sigma);(x, f, k, LineWidth, 1.5)on=mu+1;
%
title (Плотность нормального распределения,\mu=var, \sigma=1 )
xlabel ( x )( f )(-0.25, 0.38, \mu_1=0);(0.7, 0.38, \mu_2=1);
text (1.7, 0.38, \mu_3=2);
Из рис. 1.2 следует, что увеличение среднего значения сдвигает плотность распределения случайной переменной в положительном направлении оси абсцисс.
Вычислить среднее значение, дисперсию, 3-й и 4-й моменты, коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения случайной величины.
clear, clcpix mu sigma positive=1/2*exp (-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);=int (x*f, x, - inf, inf)=int((x-mu)^2*f, x, - inf, inf)=int((x-mu)^3*f, x, - inf, inf)=M3/sigma^3=int((x-mu)^4*f, x, - inf, inf)=M4/sigma^4-3=mu=sigma^23=0
A=3*sigma^4
E=0
Перепишем полученные результаты в аналитической форме
=, D=?2, M3=0, A=0, M4=3?4, E=0.
Найти вероятности P1(-?, 0), P2(-?;+?), P3(1,2) попадания значений случайной переменной с распределением N (, ?) в интервалы значений (-?, 0), (-?,+?) и [1,2].
clearx pi=0; sigma=1;=1/2*exp (-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);=int (f, x, - inf, 0),=int (f, x, - inf, inf),=int (f, x, 1,2), P3=vpa (P3,5)=1/2=1=erf (2^(1/2))/2 - erf (2^(1/2)/2)/23 =0.13591
Вероятность P3(1,2)=erf() - erf() выражена через функцию ошибок erf(x)=dt.
Построить график функции ошибок erf(x)=dt.
x=-3:0.1:3;(x, erf(x), k, LineWidth, 1.5)( x )( erf(x) )
title ( Функция ошибок)
Результат показан на 1.3
Рис. 1.3
В аналитической форме интегралы, определяющие искомые вероятности, имеют следующий вид:
=1-2
, clcx pi=5; sigma=1; epsilon=1;=1/2*exp (-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);=int (f, x, - inf, mu-epsilon);=simplify(P1), P1=vpa (P1,5)=int (f, x, mu-epsilon, mu+epsilon);=simplify(P2), P2=vpa (P2,5)=int (f, x, mu+epsilon, inf);=simplify(P3), P3=vpa (P3,5)=int (f, x, - inf, inf);=P1+P2+P3, P=vpa (P, 5)=P-P1-P3; P2=vpa (P2,5)=P-2*P1; P2=vpa (P2,5)=P-2*P3; P2=vpa (P2,5)
% График плотности вероятности=3*sigma;
hh=ezplot (f, [mu-xLim, mu+xLim]);on(hh, LineWidth, 2)( x )( f(x) )
title ( Симметричный интервал)
% Закраска площади трапеции PI
x=mu-xLim:2*epsilon*10^-3:mu-epsilon;=[.1.1.1]; F=normpdf (x, mu, sigma);=[x, mu-epsilon, mu-xLim]; fp=[F, 0,0]; patch (xp, fp, C);
% Закраска площади трапеции Р2=mu-epsilon:2*epsilon*10^-3:mu+epsilon;=[.7.7.7]; F=normpdf (x, mu, sigma);=[x, mu+epsilon, mu-epsilon];=[F, 0,0]; patch (xp, fp, C);
% Закраска площади трапеции РЗ=mu+epsilon:2*epsilon*10^-3:mu+xLim;=[.1.1.1]; F=normpdf (x, mu, sigma);=[x, mu+xLim, mu+epsilon]; fp=[F, 0,0]; patch (xp, fp, C);(gcf, Position, [35 35 750 650])=1/2 - erf (2^(1/2)/2)/2=0.15866=erf (2^(1/2)/2)=0.68269=1/2 - erf (2^(1/2)/2)/23 =0.15866
P =1
P =1.00000
P2 =0.68268
P2 =0.68268
P2 =0.68268
Создать файл-функцию для графической иллюстрации и оценок вероятностей попадания значений случайной переменной, подчиняющейся нормальному распределению с параметрами и ?, в интервал значений от x1 до x2. Используя файл-функцию, найти: 1) вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с параметрами =0 и ?=1 в интервал значений от x1= -1 до x2= 2; 2) вероятность попадания случайно переменной с распределением N (= 2,?= l) в интервал значений от x1=-3?= -1 до х2= +3?=5.
function NormFig (mu, sigma, x1, x2)
% Построение графика плотности вероятности=3*sigma;
x=mu-tsigma: (x2-x1)*10^-2:mu+tsigma;=normpdf (x, mu, sigma);(x, f, k, Linewidth, 1.5)on( x )( f )( P)
% Закраска площади трапеции=x1: (x2-x1)*10^-2:x2;
C=[.7.7.7]; f=normpdf (x, mu, sigma);=[x, x2, x1]; fp=[f, 0,0];(xp, fp, C); alpha(.5)
% Оценка вероятностиx=normpdf (x, mu, sigma);=subs (f, x, mu); P=int (f, x, x1, x2); P=vpa (P, 5)
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины c параметрами = 0 и ?= 1 в интервал значений от х1= -1 до x2= 2 (рис. 1.5):
clear, clc, close(0,1, - 1,2)=0.81859
Далее используем файл-функцию NormFig для иллюстрации правила трех сигм, которое говорит о том, что если случайная переменная имеет нормальное распределение N (, ?), то практически достоверно попадание ее значений в интервал от -3? до +3?.
Вероятность попадания случайной переменной с распределением N (=2, ?=1) в интервал значений от х1= -3?= -1 до х2 =+3?= 5 (рис. 1.6):
clear, clc, close(2,1, - 1,5)=0.9973
Вычислить моду нормального распределения с параметр