Теоретические распределения данных
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
ами = 2 и ?= 1.
clear, clcpix mu sigma positive= 1/2*exp (-1/2*…
(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);_f=diff (f, x)=solve (diff_f)(2,1,1)=subs (f, {mu, sigma}, {2,1})=ezplot(f); hold on,( x )( f(x) )(2,1,2)_f=subs (diff_f, {mu, sigma}, {2,1})=ezplot (diff_f);( x )( f(x) )(gcf, position, [300 35 550 680])_f =(2^(1/2)*(2*mu - 2*x))/(4*pi^(1/2)*sigma^3*exp((mu - x)^2/(2*sigma^2)))=mu=2^(1/2)/(2*pi^(1/2)*exp((x - 2)^2/2))_f = - (2^(1/2)*(2*x - 4))/(4*pi^(1/2)*exp((x - 2)^2/2))
Мода нормального распределения совпадает со средним значением случайной переменной: x= =0.
На рис. 1.7 помимо функции плотности нормального распределения, показанного в первом подокне, во втором подокне показана производная функции распределения, которая обращается в ноль при значении х=2.
Численное решение этой задачи связано с использованием М-функции [fmax, k]=max(f) обработки числовых массивов, где fmax - имя наибольшего элемента массива f, k - номер наибольшего элемента в массиве f.
clear, clc=2; sigma=1;=-3*sigma:0.1:3*sigma;
% Вычисление вектора значений функции плотности вероятности
f=normpdf (x, mu, sigma);
% Определение максимального элемента массива х и номера этого элемента
[fmax, k]=max(f)
% Определение моды по номеру элемента массива х
mode=x(k)=0.3989= 51
mode =2.
Нормальное кумулятивное распределение
Функция кумулятивного нормального распределения
F (x|, ?)=
определяющая вероятность того, что случайная переменная примет значение, меньшее x, представлена в MATLAB файл-функциями normcdf (x, mu, sigma) и cdf (Normal, x, mu, sigma).
Дифференцирование функции кумулятивного распределения приводит к функции плотности вероятности
f (x|, ?)=F (x|, ?).
clear, clct x mu sigma pi=int (exp(- (t-mu)^2/2/sigma^2), t, - inf, x)/sigma/(2*pi)^(1/2);=diff (F, x)=1/(sigma*exp((mu - x)^2/(2*sigma^2))*(2*pi)^(1/2))
Построить график кумулятивных функций нормального распределения со средним значением =0 и стандартными отклонениями ?=1,2,3 (рис. 1.8)
x=-4:0.1:4;=0; sigma=1;sigma<=3=normcdf (x, mu, sigma);(x, F, k, LineWidth, 1.5), hold on=sigma+1;
%( Нормальное распределение \mu=0,\sigma=var)( x )( F )(0.8, 0.95, \sigma_1=1);(1.5, 0.88, \sigma_2=2);(2.8, 0.78, \sigma_3=3);
Установить связь функции ошибок erf(x)= с нормальным распределением F(x)=, имеющим параметры =0 и ?=.
Так как F()=+,
то, вычисляя первый интеграл
clear, clct(exp(-t^2), t, - inf, 0) =pi^(1/2)/2
и подставляя найденное значение в формулу для F, получим
erf(x)=2F() - 1.
Проверим эту связь:
clear, clct x mu sigma pi=int (exp(- (t-mu)^2/2/sigma^2), t, - inf, x)/sigma/(2*pi)^(1/2);=2*subs (F, {mu, sigma}, {0,1/2^(1/2)}) - 1;=simplify(erf)(F, k, LineWidth, 1.5), hold on =erf(x).
Сначала решим задачу аналитически. Для этого используем определение величины P через интеграл
P=
Так как
то разбивая диапазон изменения переменной интегрирования на 3 области (-?, -?),
Учитывая, что
и следовательно
-
находим
Решим задачу численно, полагая, например, =5, ?=1, ?=1.
clear, clcx pi=5; sigma=1; epsilon=1;=1/2*exp (-1/2*(x-mu)^2/sigma^2)/sigma*2^(1/2)/pi^(1/2);
disp (Прямое вычисление исходного интеграла)
P=int (f, x, mu-epsilon, mu+epsilon), P=vpa (P, 5)
disp (Вычисление интегралов, определяющих кумулятивную функцию)
P=int (f, x, - inf, mu+epsilon) - int (f, x, - inf, mu-epsilon);=simplify(P), P=vpa (P, 5)
disp (Вычисление разности значений кумулятивной функции)
P=normcdf (mu+epsilon, mu, sigma) - normcdf (mu-epsilon, mu, sigma)
Прямое вычисление исходного интеграла
P =erf (2^(1/2)/2)
P =0.68269
Вычисление интегралов, определяющих кумулятивную функцию
P =erf (2^(1/2)/2)
P =0.68269
Вычисление разности значений кумулятивной функции
P =0.6827
Используя кумулятивную функцию распределения, найти вероятность того, что значения случайной переменной X=N (, ?) лежат в интервале [-?, +?]. Дать численное решение для случаев: а) X=N (0,1), [-0. 5,0.5]; b) X=N (3,1), [-0. 5,0.5]; c) X=N (0,2), [-0. 5,0.5]; d) X=N (0,2), [-3,3].
Для решения задачи напишем файл-функцию, основанную на обращении к высокоуровневой функции normcdf. В качестве выходной величины сформируем вектор с компонентами значений кумулятивной функции на краях заданных интервалов и их разности, определяющей искомую вероятность.
function epsilonM (mu, sigma, epsilon)
%=mu-epsilon; x2=mu+epsilon;=normcdf (x1, mu, sigma); p2=normcdf (x2, mu, sigma);=p2-p1;=[p1, p2, p]=x1-3*sigma:10^-1:x2+3*sigma; F=normcdf (x, mu, sigma);(x, F, k, LineWidth, 1.5), hold on(\mu=0, \sigma=1, \epsilon=0.5)( x )( F )
% Закраска площади трапеции=mu-epsilon:2*epsilon*10^-2:mu+epsilon;=[.7.7.7]; F=normcdf (x, mu, sigma);=[x, mu+epsilon, mu-epsilon];=[F, 0,0]; patch (xp, fp, C); alpha(.5)=normcdf (mu-epsilon, mu, sigma);(mu-epsilon, F1, num2str(F1));=normcdf (mu+epsilon, mu, sigma);(mu+epsilon, F2, num2str(F2));
В случае а) обращение к файл-функции(0,1,0.5)=0.3085 0.6915 0.3829
дает величину 0.3829 вероятности попадания значений случайной переменной X=N (0,1) в интервале [-0. 5,0.5]. Рис. 1.9 иллюстрирует эти вычисления.
Вычисления для случая b) показывают, что изменение среднего значения случайной величины не изменяет значений вычисляемых вероятностей (рис. 1.10).
clear, clc, close(3,1,0.5)
P = 0.3085 0.6915 0.3829
В случае с) увеличение стандартного отклонения приводит к увеличению вероятности получить значение случайной переменной X=N (0,2) меньшее, чем нижняя граница заданного интервала [-0. 5,0.5], и к уменьшению вероятности получить значение случайной величины меньшее, чем верхняя граница интервала. Связано это с уменьшением крутизны кумулятивной функции. В результате этих изменений вероятность получить значение случайной переменной X=N (0,2) в заданном интервале уменьшается (рис. 1.11).
clear, clc, close(0,2,0.5)
P =0.4013 0.5987 0.1974
В случае d) увеличение интервала от [-0. 5,0.5] до [-3,3] приводит к увеличению ?/p>