Теорема Котельникова и поперечники в среднем
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Федеральное агентство по образованию и науке
Пензенский Государственный Университет
Кафедра Высшей и Прикладной математики
Курсовой проект
по дисциплине
Теория приближения функций
на тему
Теорема Котельникова и поперечники в среднем
Теоретическая часть
В настоящее время все радиоэлектронные системы, включая системы телефонии, радиовещания и телевидения, переходят на цифровой режим работы. Поэтому преобразование различных аналоговых сигналов для их обработки в цифровой форме (проблема дискретизации) требует фундаментального математического обоснования для всевозможных классов детерминированных и случайных сигналов с тем, чтобы разработчики таких систем могли уверенно пользоваться цифровыми сигналами и их преобразованиями в различных радиоэлектронных устройствах и компонентах.
Теорема отсчетов для цифровой обработки случайных сигналов
Дискретизация детерминированных сигналов с ограниченной энергией в соответствии с теоремой Котельникова-Шеннона получила в 1960-х годах твердую теоретическую базу, а также многочисленные обобщения на основе математической теории гильбертовых пространств с воспроизводящими ядрами. Однако дискретизация случайных сигналов, например, речевых и телевизионных, до сих пор не нашла удовлетворительного для прикладных целей математического обоснования, что приводит на практике к неправомерному применению теоремы отсчетов и некорректным ее интерпретациям при цифровой обработке сигналов.
Теорема отсчетов Котельникова-Шеннона и ее обобщения
Прикладная проблема дискретизации сигналов развивалась значительно позднее, чем математическая проблема интерполяции функций. В результате решения последней получены интерполяционные формулы Ньютона, Стирлинга, Лагранжа, Гаусса, Бесселя, Эверетта, Стеффенсена и др. О. Коши в 1841 г. и Э. Борель в 1897 г. рассматривали интерполяционные ряды вида:
(1)
Однако первым, кто осознал важность представления (1) для прикладной математики и провел достаточно подробные исследования свойств ряда (1), был шотландский математик Эдмунд Уиттекер.
Он показал, что если некоторая неизвестная функция f(t) задана своими эквидистантными отсчетами fn = f (a+n?t) в бесконечной совокупности точек (…, a-?t, a, a+?t, …), то среди бесконечного множества функций, которые можно провести через совокупность отсчетов (…, f-1, f0, f1, …), существует функция, не имеющая разрывов второго рода (сингулярностей) и быстрых осцилляций между отсчетными точками. Такую функцию C(t) Уиттекер назвал основной, или кардинальной функцией (cardinal function):
(2)
где sinc x = (sin x)/x.
Например, если a = 0 и fn = (-1)n, то
(3)
При этом формулу (3) нельзя рассматривать как применение теоремы отсчетов Котельникова-Шеннона к функции cos(2?Ft) при F = 1/(2?t), поскольку при a = ?t/2: fn = cos[? (a+n?t)/?t] = cos[?(n+1/2)] = 0 для любого значения n, и ряд (2) тождественно равен нулю. Дальнейшие свойства кардинальных функций исследовал в 1925-1927 гг. ученик Уиттекера - У. Феррер.
Он обнаружил у кардинальных функций замечательное свойство самосогласованности.
Теорема Котельникова-Шеннона
Пусть сигнал s(t) обладает ограниченным по частоте (финитным) спектром:
при
Тогда сигнал s(t) может быть однозначно представлен в виде ряда Э. Уиттекера:
(4)
где sn = s(a+n?t)- отсчет функции s(t) в точке tn = a+n?t; a - произвольное действительное число; ?t = 1/Fд - интервал дискретизации (Fд ? 2Fm).Функция sinc x = (sin x)/x в теории сигналов называется функцией отсчетов, а ряд (6) в каждой точке t сходится среднеквадратически.
При этом
где ?m ? 2?Fm, ?t ? 1/(2Fm). Поскольку величину ?tн = 1/(2Fm) назвали интервалом Найквиста, то в теореме Котельникова-Шеннона интервал дискретизации ?t должен удовлетворять неравенству ?t ? ?tн.
Шеннон в фундаментальной статье приводит пример белого шума с финитной спектральной плотностью мощности (W?(?) = N0 ? 2?Fm), имеющего в качестве своих реализаций функции вида
где случайные коэффициенты an распределены по закону Гаусса и независимо друг от друга со средним a-n = 0 и с дисперсией ?n2 = N0. Однако обобщения теоремы отсчетов на случайные процессы ?(t) Шеннон не приводит.
Классификация сигналов
Непрерывные сигналы описываются непрерывными функциями времени. Мгновенные значения таких сигналов изменяются во времени плавно, без резких скачков (разрывов). Пример временной диаграммы непрерывного сигнала приведен на рис.5.2а. Сигналы, временные диаграммы которых изображены на рис.5.1, не являются непрерывными, поскольку их мгновенные значения в некоторые моменты времени изменяются скачками. Многие реальные сигналы являются непрерывными. К таковым можно отнести, например, электрические сигналы при передаче речи, музыки, многих изображений.
Рис. 5.1 График реализации телеграфного сигнала
а)
б)
в)
г)
Рис. 5.2 Дискретизация, квантование непрерывного сигнала: а - непрерывный сигнал; б - дискретный по времени (импульсный) сигнал; в - дискретный по времени и по значениям (цифровой) сигнал; г - ошибка квантования.
Сигналы с дискретным временем. Их можно получить из непрерывных, выполняя над последними специальное преобразование, называемое дискретизацией по времени