Теорема Котельникова и поперечники в среднем
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
определяет n-поперечник Колмогорова.
Определение 1.2.
Пусть . Выражение
где inf берется по всем непрерывным отображениям П: , определяет n-мерный поперечник Бабенко.
Определение 1.3.
Урысоновский поперечник определяется равенством
,
где
Размерность компакта Х, согласно утверждению Урысона, определяется равенством
Для всякого множества, принадлежащего нормированному пространству Е, выполняется
Позднее, в 1933 году П.С.Александровым были введены поперечники Александрова-Урысона и Александрова .
Определение 1.4
Полиэдром называется объединение локально конечного семейства выпуклых многогранников в n-мерном пространстве . Под выпуклым многогранником понимается пересечение конечного числа замкнутых полупространств в случае, если это пересечение ограничено, а локальная конечность семейства означает, что каждая точка имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом многогранников.
Определение 1.5
Пусть Х - компакт. Пусть - класс всех полиэдров размерности не выше n и .
Тогда n-поперечник Александрова-Урысона определяется формулой
где inf берется по всевозможным парам , состоящим из полиэдра размерности не выше n и непрерывного отображения .
Определение 1.6
Пусть В - банахово пространство, Х - компакт. Пусть - класс всех лежащих в В полиэдров размерности не выше n и . Александровский n-поперечник определяется формулой
где inf берется по всевозможным парам , состоящим из лежащего в В полиэдра , не превосходящего степени n и непрерывного отображения .
Определение 1.7
Коразмерностью подпространства А называется величина
.
Определение 1.8
Пусть Х - выпуклое, центрально-симметричное подмножество в нормированном пространстве Е. Величина
где - подпространство в Е с , называется n-поперечником множества Х по Гельфанду.
Пусть Е - нормированное пространство с единичным шаром m , - некоторое выпуклое, центрально-симметричное подмножество Е. Пусть существует гильбертово пространство Н, всюду плотное в Е и .
Определение 1.9
Фурье-n-поперечником множества называется величина
где - ортогональная проекция элемента х на подпространство на , а inf берется по всем подпространствам Н размерности не выше n.
Листинг программы
;(linalg):(plots)::=1; амплитуда колебаний:=10; число отсчетов_sr:=N/2; частота среза_is:=0.4; длительность импульса_max:=1/t_is; граничная частота спектра_t:=1/(2*f_max); интервал между двумя отсчетными точками:=2*Pi*f_max; наивысшая частота
S:=t->sin(t);(S(i*Delta_t)*sin(omega*(t-i*Delta_t))/(omega*(t-i*Delta_t)),i=-N..N)::=unapply(%,t)::=abs(S(t)-s(t))::=unapply(%,t)::=plot(S(x),x=0..2,linestyle=4,color=red)::=plot(s(x),x=0..2,linestyle=4,color=green)::=plot(SSS(x),x=0..2,linestyle=1,color=black):(pic1,pic2); display(pic3);
котельников шеннон приближение сигнал
Результаты работы программы
Синусоидальный сигнал (число отсчетов - 12, длительность импульса - 0.6)
Погрешность
Синусоидальный сигнал (число отсчетов - 20, длительность импульса - 0.2)
Погрешность
Синусоидальный сигнал (число отсчетов - 10, длительность импульса - 0.4)
Погрешность
Синусоидальный сигнал (число отсчетов - 20, длительность импульса - 0.4)
Погрешность
Синусоидальный сигнал (число отсчетов - 10, длительность импульса - 0.6)
Погрешность
Синусоидальный сигнал (число отсчетов - 20, длительность импульса - 0.6)
Погрешность
Прямоугольный сигнал (число отсчетов - 10, длительность импульса - 0.6)
Погрешность
Прямоугольный сигнал (число отсчетов - 26, длительность импульса - 0.2)
Погрешность
Пилообразный сигнал (число отсчетов - 10, длительность импульса - 0.4)
Погрешность
Пилообразный сигнал (число отсчетов - 30, длительность импульса - 0.15)
Погрешность
Вывод
В ходе данной курсовой работы была реализована программа для восстановления сигнала по его дискретным значениям. Исходя из результатов выполнения программы, можно сделать некоторые выводы. Реальные непрерывные сигналы, подлежащие передаче, как правило, имеют спектры, хотя и довольно быстро стремящиеся к нулю с ростом частоты, но все же неограниченные. Такие сигналы могут быть восстановлены по своим дискретным отсчетам лишь приближенно. Но, если выбрать шаг дискретизации достаточно малым, а количество отсчетов большим, то можно обеспечить пренебрежимо малое значение ошибки восстановления непрерывного сигнала по его переданным отсчетам в дискретные моменты времени.
Список используемой литературы
1.Бойков И.В. Оптимальные методы приближения, с.39-41
2.Тихомиров В.М. Некоторые вопросы приближения функций
.Худяков Г. И. Теорема отсчетов теории сигналов и ее создатели Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53. № 9
.Шеннон К. Статистическая теория передачи электрических сигналов