Статистические методы анализа результатов психолого-педагогических исследований
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
татком (невязкой) или остаточными факторами. Обычно предполагается, что общие факторы либо некоррелированные случайные величины с дисперсией 1, либо неизвестные случайные параметры. Остаточные факторы имеют нормальное распределение и не коррелируют между собой и с общими факторами. Коэффициенты ai,j называются факторными нагрузками и совпадают с коэффициентами корреляции между Xi и Fj. Интерпретируя коэффициент корреляции ri,j как скалярное произведение (Xi, Хj), мы при этих предположениях получим геометрическую модель ФА: уравнение (9) есть разложение системы нормированных векторов Х1,...,Хk через ортогональную систему Ei, F1,..,Fp с максимальной суммарной информативностью I = ? D(Fj) / ? D(Xi). Матрица ковариации М для переменных Xi приводится к диагональному виду в базисе, состоящем из собственных векторов, и в качестве Fj выбираются собственные векторы с максимальными собственными значениями ? j (метод главных компонент). При этом ? j интерпретируются как дисперсии соответствующих факторов. Критерий информативности I может быть записан в виде I = ? ? j / k, т.е. он равен доле суммарной дисперсии переменных Хi, обьясненных первыми p главными компонентами - факторами. Чем ближе это значение к 1, тем более точно факторы Fj описывают переменные Хi. Помимо метода главных компонент, существуют и другие способы выделения факторов Fj - методы минимальных остатков, максимального правдоподобия, центроидный метод и др. Все они, как правило, приводят к близким результатам, так что более важным вопросом ФА является не выбор способа извлечения факторов, а определение их количества и интерпретация латентных факторов в содержательном плане (это могут быть психофизиологические свойства личности, а также социальные, экономические факторы и т.п.). При выборе числа факторов полезно руководствоваться следующими соображениями:
Имеет смысл учитывать только те факторы, для которых собственные числа больше 1, т.е. вклад фактора в суммарную дисперсию больше вклада любой переменной.
Критерий "каменистой осыпи" рекомендует ограничиться фактором, после которого убывание собственных чисел замедляется наиболее сильно.
На заданном числе факторов критерий информативности I превышает 0.75 ( т.е. факторы обьясняют 75% разброса переменных).
Матрица интеркорреляции для Ei не имеет значимых на заданном уровне ? (обычно ? = 0.05) недиагональных коэффициентов.
Построенная факторная структура в пространстве V определена не однозначно. Вращая систему координат в V, можно получать различные разложения переменных Хi через Fj. Существуют различные критерии для определения наилучшей позиции системы координат - критерии согласования с результатами, полученными другими методами, с общей гипотезой относительно природы латентных факторов и т.п. Есть и чисто математический критерий, базирующийся на принципе "простой структуры" Терстона. В его основе лежит идея, что из нескольких равносильных гипотез следует выбирать наиболее простую, что в данном случае означает, что каждая переменная должна иметь максимально простое факторное содержание, то есть в ней доминирует нагрузка одного какого-либо фактора, и наоборот - данный фактор проявляется только в некотором минимальном числе переменных. Другими словами, вращением базиса необходимо получить одновременно наибольшее число максимальных по модулю и минимальных (близких к нулю) факторных нагрузок. Эта процедура реализуется тем или иным итерационным методом (варимакс, квартимакс, эквимакс) в статистических электронных пакетах, содержащих модули ФА (Statistica и др.).
Кластерный анализ (КА). В целом алгоритмы КА можно разделить на два основных направления - это разбиение данных на некоторые группы (кластеры) и иерархическая классификация данных. В качестве объектов анализа могут выступать как случаи (субъекты исследования), так и случайные переменные. Общая идея первого направления КА заключается в том, что случаи (или переменные) рассматриваются как точки векторного пространства с определенной на нем метрикой (функцией расстояний) d(X,Y) и затем разбиваются на группы близких относительно этой метрики обьектов, называемых кластерами. В качестве метрики используются евклидово расстояние (? (xi - yi)2)1/2, расстояние Чебышева max{|xi - yi |} и др. Обьекты анализа определяются исходной матрицей Т либо матрицей расстояний. Пусть задана матрица Т. Выделим классифицирующее множество признаков - переменные Х1,..,Хk. Тогда каждый случай представим как точка в k-мерном пространстве V. Естественно предполагать, что геометрическая близость точек в V соответствует близости соответствующих объектов по своим характеристикам. Это определяет геометрический подход, не требующий никаких вероятностных предположений. Другой подход основан на предположении, что матрица Т определяет выборку из смеси унимодальных распределений, и задача выделения групп сводится либо к оценке параметров этих распределений (параметрические методы), либо к поиску модальных значений (точек локального максимума) непараметрической оценки Парзена для функции плотности вероятности. Параметрические методы, например, алгоритм Дея (см. [5, 9.1.4]), близки методам дискриминантного анализа.Обычно при этом предполагается, что распределение выборки есть взвешенная сумма многомерных нормальных распределений. Во втором случае рассматривается функция Парзена P(X,h) = c(h, p) ? exp(-1/h2 (X - Xj)T (X -Xj)), дающая непараметрическую оценку плотности распределения случайных величин Х1,.., Хk. Здесь c(h, p) - нормирующая константа, p - параметр сглажив?/p>