Современная кристаллография и минералогия
Методическое пособие - Геодезия и Геология
Другие методички по предмету Геодезия и Геология
обозначения осей симметрии употребляется буква L, а порядок оси указывается маленькой цифрой, располагаемой справа от буквы (например, L4 - ось четвертого порядка).
В кристаллических многогранниках оси симметрии могут проходить через центры противоположных граней перпендикулярно к ним, через середины противоположных ребер перпендикулярно к ним (только L2) и через вершины многогранника. В последнем случае симметричные грани и ребра одинаково наклонены к данной оси.
Кристалл может иметь несколько осей симметрии одного порядка, количества которых указывается коэффициентом перед буквой. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствует 3L2, т. е. три оси симметрии второго порядка; в кубе имеются 3L4, 4L3 и 6L2, т. е. три оси симметрии четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка и т. д.
2.5 Инверсионные оси симметрии
Инверсионные оси симметрии, обозначаемые буквой Li, являются сложными элементами симметрии. Они представляют собой как бы совокупность совместно действующих оси симметрии и центра инверсии.
Инверсионной осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с последующим отражением в центральной точке фигуры, как в центре инверсии, фигура совмещается сама с собой.
Симметричное преобразование, отвечающее инверсионной оси, состоит из поворота вокруг прямой линии и последующей инверсии в точке, лежащей на этой линии.
Рассмотрим пример инверсионной оси в правильной треугольной призме на рис. 2.10. В этой фигуре прямая gg является осью симметрии третьего порядка L3 и одновременно инверсионной осью шестого порядка. Действительно после поворота вокруг этой оси на 60 всех частей многогранника и последующего их отражения в центральной точке фигура самосовмещается.
Например, ребро АВ в результате поворота вокруг gg на 60 займет положение А1В1, а после отражения в центральной точке фигуры совместится с ребром А1В1. При полном повороте на 360 будет всего шесть таких совмещений. Следовательно, прямая gg представляет собой инверсионную ось шестого порядка Li6.
В кристаллических многогранниках возможны инверсионные оси первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка, т.е. Li1, Li2, Li3, Li4, Li6.
Рис. 2.10. Многогранник с инверсионной осью шестого порядка
На практике приходится иметь дело в основном с двумя последними инверсионными осями Li4 и Li6. Остальные инверсионные оси могут быть заменены другими, уже знакомыми нам элементами симметрии.
Так, например, инверсионная ось первого порядка (Li1) равнозначна центру инверсии (C). Действительно поворот на 360 оставляет фигуру на месте, поэтому самосовмещение фигуры произойдет только в результате отражения в центральной точке. Следовательно, Li1=С.
Инверсионная ось второго порядка по своему действию равнозначна перпендикулярной к ней плоскости симметрии, т. е. Li2=Р.
Инверсионная ось третьего порядка Li3 равносильна одновременно действующим оси симметрии третьего порядка L3, совпадающей с Li3 и центру инверсии С, т. е. , Li3=L3С. Так, например, в кубе, где присутствует совместно С и L3, каждая из четырех осей симметрии третьего порядка является в то же время тройной инверсионной осью. Наличие Li3, всегда совпадающей с простой осью симметрии третьего порядка, обычно не указывается.
Инверсионная ось четвертого порядка Li4 является самостоятельным элементом симметрии и не может быть ничем заменена. В многогранниках, обладающих Li4, центр инверсии отсутствует. Четвертая инверсионная ось всегда является одновременно осью симметрии второго порядка (Li4=L2), однако не любая двойная ось при отсутствии С отвечает Li4.
Инверсионная ось шестого порядка Li6 может быть заменена осью симметрии третьего порядка, совпадающей с Li6 и перпендикулярной к ней плоскостью симметрии:
Li6=L3P(P ^ L3)
Кристаллические многогранники, обладающие Li6, самостоятельного центра инверсии не имеют.
Хотя Li6 можно заменить другими элементами симметрии, ею приходится пользоваться при классификации кристаллов, поэтому она упоминается наряду с Li4.
2.6 Сложение элементов симметрии
Сочетание нескольких элементов симметрии не является произвольным, а подчиняется строгой геометрической закономерности, которая заключается в том, что при наличии двух элементов симметрии фигура обладает и третьим элементом симметрии, равнодействующим первым двум.
Равнодействующим называют элемент симметрии, действие которого приводит фигуру в то же положение, что и последовательное действие двух других элементов симметрии. Например, в правильной четырёхугольной призме (рис. 2.11) плоскость симметрии Р2 является равнодействующей другой плоскости симметрии Р1 и оси симметрии L4.
С другой стороны, L4 - является равнодействующей плоскостей симметрии Р1 и Р2.
Так как два элемента симметрии всегда дают третий, им равнодействующий, то в кристаллических многогранниках возможны либо только один элемент, либо больше двух.
Нахождение по двум элементам симметрии им равнодействующего называется сложением элементов симметрии.
Познакомимся с основными теоремами сложения элементов симметрии.
Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, равнодействующей этим плоскостям.
Теорема 2. Если через ось симметрии проходит плоскость симметрии, то через ту же ось должна проходить вторая плоскость симметрии под углом 900 к первой.
Рис. 2.11. Ось