Символ "О" - асимптотический анализ
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
? уравнений: действительного переменного
Пример 1.
Рассмотрим уравнение
x +th x = u,
где u - действительный параметр, - гиперболический тангенс [6], , х и th x непрерывные, строго возрастающие функции на всей числовой прямой.
Найдем асимптотические приближения для корня:
1). Функция u(x) = x +th x непрерывна и строго монотонна на R. По теореме о непрерывности обратной функции, существует обратная к ней функция х(и), непрерывная и строго монотонная на Еи = R.
Так как при х и(х), то при и х(и).
Пусть и, тогда х и .
Значит, х(и) ~ и, при и. Это первое асимптотическое приближение для корня.
2). Приведем уравнение к виду:
x = и - th x.
+С, где С некоторая константа. По определению символа О thx = 1+O(1).
x = и 1 + О(1) - это второе асимптотическое приближение корня.
3). Докажем, что е-2х = О(е-2и):(2.1.1)
подставим второе асимптотическое приближение корня
е-2х = е-2(и 1 + О(1)) = е-2и е2 еО(1) = (по 1.2.3 и 1.2.9) = е2 О(е-2и) (1 + О(1))=
(по 1.2.3) = е2 О(е-2и) (2О(1)) = (по 1.2.6 и 1.2.4) = О(е-2и).
Разложим th x в ряд [6], удобный при больших х:
th x = 1 2е-2х + 2е-4х 2е-6х +…(х > 0)
Тогда по теореме [3]:(2.1.2)
если ряд сходится при , тогда для фиксированного n в любом круге , где .
Ряд 2е-2х + 2е-4х 2е-6х +… сходится при х > 0, т.е. и его сумма равна th x - 1. Значит, по теореме: th x - 1 = О(е-2х), т.е.
th x=О(е-2х)+1.
Тогда x = и - th x = и 1 + О(е-2х) = (по 2.1.1) = и 1 + О(О(е-2и)) =
(по 1.2.5) = и 1 + О(е-2и).
Таким образом, x = и 1 + О(е-2и) - этот третье асимптотическое приближение корня.
4). Докажем, что е-2х = е-2и+2 + О(е-4и):(2.1.3)
подставим третье асимптотическое приближение корня
(по 1.2.9)
(по 1.2.6)
(по 1.2.3 и 1.2.4) .
Ряд 2е-4х 2е-6х + 2е-8х 2е-10х +… сходится при х > 0, т.е. и его сумма равна th x 1 + 2е-2х. Значит, по теореме: th x 1 + 2е-2х = О(е-4х),
т.е. th x=О(е-4х)+1 - 2е-2х.
Тогда x = и - th x = и 1 + 2е-2х + О(е-4х) = (по 2.1.3) =
= и 1 + 2(е-2и+2 + О(е-4и)) + О(е-4х) = (по 1.2.6) =
= и 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(е-2х е-2х) = (по 2.1.1) =
= и 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(О(е-2и) О(е-2и)) = (по 1.2.4) =
= и 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(О(е-4и)) = (по 1.2.5) =
= и 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(е-4и) = и 1 + 2е-2и+2 + 2О(е-4и) = (по 1.2.6) =
= и 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и).
Таким образом, x = и 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) - этот четвертое асимптотическое приближение корня.
Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений с ошибками, асимптотический порядок которых постоянно убывает. Сходимость этой последовательности при неограниченном возрастании числа шагов на основе проведенных рассуждений увидеть трудно, но численные возможности этого процесса можно оценить, взяв, например, и = 5:
1) х = 5;
2) х = и 1 + О(1) = 5 1 = 4; (не учитываем ошибку О(1))
3) x = и 1 + О(е-2и) = 5 1 = 4; (не учитываем ошибку О(е-2и))
4) x = и 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) = 5 1 + 0,000670925… = 4,000670925... (не учитываем ошибку О(е-4и))
Точное значение, полученное стандартными численными методами, равно 4,0006698…
Пример 2.
Найдем большие положительные корни уравнения
x tg x = 1
Это уравнение можно обратить следующим образом:
,
где n целое число, а арктангенс принимает значения в интервале , находим, что x ~ n при (n > ).
Если x > 1, то [6]
1). По теореме (2.1.2) .
.
2).
По теореме (2.1.2) . Тогда .
.
3).
По теореме (2.1.2) . Тогда .
.
И так далее.
2. Асимптотическое решение интегралов
Пример 1. Вычислить при х > 1.
Разложим в ряд [6]:
По теореме (2.1.2) , т.е. .
Пример 2. Вычислить при +0, , А(х) - ступенчатая функция: А(х) = 0 при х < 0, А(х) = Аk, k x < k + 1,
Аk = а1 + а2 +…+ аk , аk = k -1 . Причем .
Воспользуемся асимптотической формулой [4]
,
где - постоянная Эйлера . Введем функцию (х) = lnx + .
.
Последний интеграл имеет порядок О( ln ) при +0, а предпоследний равен -/2, так что
.
S() = I + J, где
.
Оценим интеграл J. Пусть , тогда k 1
.
Прологарифмируем , получим . Значит
Следовательно,
.
Получаем, что
.
3. Асимптотическое вычисление суммы ряда
При нахождении суммы ряда нередко используется формула суммирования Эйлера [2]:
где
Вk числа Бернулли, Вm({x}) многочлен Бернулли.
Вk = (-1)k 2k. [6]
. Коэффициенты k вычисляются, используя теорему о единственности разложения функции в степенной ряд:
путем приравнивая коэффициентов:
коэффициент при х: 0 = 1,
коэффициент при хk:
Пример 1. Найти .
По 1.2.10 Нk = ln k + O(1). Тогда .
Применим формулу суммирования Эйлера: