Символ "О" - асимптотический анализ
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
то задаются в виде предельных соотношений.
Определение 2: соотношение f(n) = O(g(n)) при n означает, что существуют две константы С и n0, такие, что
при всех n n0.(1.1.3)
Замечание 1: Значения С и n0 могут быть разными для разных О, но они не зависят от n.
Определение 3: запись f(х) = O(g(х)) при х0 означает, что существуют две константы С и , такие, что
,если только .(1.1.4)
Теперь О представляет неопределенную функцию и одну или две неопределенные константы, зависящие от контекста.
Замечание 2: запись корректна, но в этом равенстве нельзя менять местами правую и левую части. В противном случае мы можем прийти к нелепым выводам, наподобие n=n2, исходя из верных тождеств n=О(n2) и n2=О(n2).
Работая с символом О мы имеем дело с односторонними равенствами. Правая часть уравнения содержит не больше информации, чем левая, и фактически может содержать меньше информации; правая часть является огрублением левой.
Если говорить строго формально, то запись O(g(n)) обозначает не какую-то одну функцию f(n), а сразу множество функций f(n), таких, что для некоторой константы С. Обычная формула g(n), не включающая символ О, обозначает множество, содержащее одну функцию f(n)=g(n). Если S и T суть множества функций от n, то запись S+T обозначает множество всех функций вида f(n)+g(n), где f(n)S и g(n)T; другие обозначения вроде ST, ST, S/T, , еS, lnS определяются аналогично. Тогда равенство между двумя такими множествами функций есть теоретико-множественное включение; знак = в действительности означает .
Пример 3: Уравнение означает, что S1S2, где S1 есть множество всех функций вида , для которых найдется константа С1, такая, что , а S2 есть множество всех функций , для которых найдется константа С2, такая, что .
Можно строго доказать это равенство, если взять произвольный элемент из левой части и показать, что он принадлежит правой части: пусть таково, что , следует доказать, что существует такая константа С2, что . Константа решает проблему, так как для всех целых n.
Замечание 3: Если в формуле используется несколько переменных, то символ О представляет множество функций от двух или более переменных, а не только от одной. В область определения каждой функции входят все переменные, которые в данном контексте свободны для изменения.
Тут есть некоторая тонкость ввиду того, что переменные могут иметь смысл лишь в части выражения, если они связаны знаком или подобным.
Пример 4: , целое n0.(1.1.5)
Выражение k2+O(k) в левой части отвечает множеству всех функций от двух переменных вида k2+f(k, n), для которых найдется константаС, такая, что для 0kn. Сумма таких множеств функций для 0kn есть множество всех функций g(n) вида
,
где f удовлетворяет сформулированному условию. Поскольку
то все такие функции g(n) принадлежат правой части (1.1.5); следовательно, (1.1.5) справедливо.
2. Основные соотношения
Соотношение 1: если .(1.2.1)
Доказательство:
Пусть , тогда по свойству степени и модуля. , где С = 1. А по определению (1.1.2) символа О это и означает, что при . Соотношение 1 доказано.
Соотношение 2: .(1.2.2)
Доказательство:
Покажем строго в соответствии с теоретико-множественным определением символа О, что левая часть является подмножеством правой части.
Любая функция из левой части имеет вид a(n)+b(n), и существуют константы m0, B, n0, C, такие, что
и.
Следовательно, функция в левой части
А, значит, по определению символа О левая часть принадлежит правой части. Соотношение 2 доказано.
Соотношение 3: f(n)=O(f(n));(1.2.3)
Доказательство:
Для любой функции f(n) верно неравенство . , где С = 1. По определению символа О (1.1.2) это и означает, что f(n)=O(f(n)). Соотношение 3 доказано.
Соотношение 4: O(f(n))O(g(n))=O(f(n)g(n));(1.2.4)
Доказательство:
Покажем в соответствии с теоретико-множественным определением символа О, что левая часть является подмножеством правой части.
В левой части функции имеют вид a(n)b(n), такие, что существуют константы В, С, n0, m0, что
и
.
Тогда для любого nmax(n0, m0,). Значит левая часть принадлежит правой части, а, следовательно, является подмножеством правой части по определению символа О. Соотношение 6 доказано.
Соотношение 5: O(O(f(n)))=O(f(n));(1.2.5)
Доказательство:
Покажем, что левая часть является подмножеством правой части.
Функция из левой части имеет вид a(n) такой, что существуют положительные константы С, В, n0, m0 такие, что
Следовательно, по определению левая часть является подмножеством правой части. Соотношение 5 доказано.
Соотношение 6: СO(f(n))=O(f(n)),если С константа;(1.2.6)
Доказательство:
Существует такая константа В, что , по определению (1.1.1) С = О(1). Тогда СO(f(n))=О(1)O(f(n)) = (по 1.2.4) = O(f(n)).
Соотношение доказано.
Соотношение 7: O(f(n)g(n))=f(n)O(g(n)).(1.2.7)
Доказательство:
Покажем, что левая ч?/p>