Символ "О" - асимптотический анализ
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
°сть является подмножеством правой части.
В левой части функции имеют вид a(n), такие, что существуют константы С, n0, что
.
По определению символа О мы получаем верное равенство (1.2.7). Соотношение 7 доказано.
Соотношение 8: O(f(n)2)= O(f(n))2.(1.2.8)
Доказательство:
O(f(n)2)=O(f(n) f(n))= (по 1.2.7) = f(n) O(f(n)) = (по 1.2.3) = О(f(n)) O(f(n)) = O(f(n))2
Соотношение доказано.
Соотношение 9: еO(f(n))= 1 + O(f(n)), если f(n) = О(1)(1.2.9)
Доказательство:
еO(f(n))= еg(n), где . Т.к. f(n) = О(1), т.е. , то.
. Значит еO(f(n))= 1 + O(f(n)).
Соотношение доказано.
Соотношение 10: Если сумма сходится абсолютно для некоторого комплексного числа z=z0, то
.
Доказательство:
Данное соотношение очевидно, поскольку
.
Соотношение доказано.
Замечание 4: В частности, S(z)=O(1) при z0 и S(1/n)=O(1) при n при том только условии, что S(z) сходится хотя бы для одного ненулевого значения z. Мы можем использовать этот принцип для того, чтобы, отбросив хвост степенного ряда, начиная с любого удобного места, оценить этот хвост через О. Так, например, не только S(z)=O(1), но и
S(z)=a0+O(z), S(z)=a0+a1z+O(z2),
и т.д., поскольку
,
а последняя сумма, как и сама S(z), абсолютно сходится при z=z0 и есть О(1).
В таблице №1 приведены самые полезные асимптотические формулы [2], половина из которых получена просто путем отбрасывания членов степенного ряда в соответствии с этим правилом.
Таблица №1
Асимптотические аппроксимации, справедливые при n и z0
(1.2.10) (1.2.11) (1.2.12) (1.2.13) (1.2.14)(1.2.15)
Асимптотические формулы для Hn, n! не являются начальными отрезками сходящихся рядов; если неограниченно продолжить эти формулы, то полученные ряды будут расходиться при всех n.
Говорят, что асимптотическая аппроксимация имеет абсолютную погрешность O(g(n)), если она имеет вид f(n)+O(g(n)), где f(n) не включаетО. Аппроксимация вида f(n)(1+O(g(n))) имеет относительную погрешность O(g(n)), если f(n) не включает О. Например, аппроксимация Hn в таблице №1 имеет абсолютную погрешность O(n-6); аппроксимация n! - относительную погрешность O(n-4). (Правая часть (1.2.11) не такая, как требуется, - f(n)(1+O(n-4)), но ее можно переписать как
.
Абсолютная погрешность этой аппроксимации есть O(nn-3.5e-n). Абсолютная погрешность соотносится с числом верных десятичных цифр справа от десятичной точки, которые сохраняются после отбрасывания члена О; относительная погрешность связана с числом верных значащих цифр.
3. Решение задач
Задача 1. Что неверно в следующих рассуждениях? Поскольку n=O(n) и 2n=O(n) и так далее, то заключаем, что ?
Решение:
Замена kn на O(n) подразумевает различные С для различных k; а нужно, чтобы все О имели общую константу. В действительности, в данном случае требуется, чтобы О обозначало множество функций двух переменных, k и n. Правильно будет записать .
Задача 2. Докажите или опровергните: О(f(n)+g(n))=f(n)+O(g(n)), если f(n) и g(n) положительны для всех nN.
Решение:
Утверждение ложно.
Пусть f(n)=n2, а g(n)=1. Найдем такую функцию (n), которая бы принадлежала левому множеству, но не принадлежала бы правому множеству, т.е. (С1) (n) [(n) C1(n2 + 1)] и (С2) (nn0) [(n) > n2 + C2].
Возьмем (n) = 2n2.
1). Пусть С1 = 3, тогда (nn0) 2n2 3(n2 + 1). Значит функция (n) принадлежит левому множеству.
2). (С2) (n>) 2n2 > n2 + C2. Значит функция (n) не принадлежит правому множеству.
Задача 3. Докажите или опровергните: cosO(x)=1+O(x2) для всех вещественных х.
Решение:
Если функция g(x) принадлежит левой части так, что g(x)=cosy для некоторого y, причем для некоторой константы С, то
g(x)=cosy=1 - 2sin2(y/2)1 = 1 + 0 х2. Значит существует такая константа В, что g(x)1 + В х2. Следовательно, множество из левой части содержится в правой части, и формула верна.
Задача 4. Докажите, что .
Решение:
Преобразуем левую часть следующим образом:
.
Заметим, что , тогда , где С константа, тогда можно записать по определению символа О, что . Используя это для преобразованного равенства, получаем, что
= (по 1.2.4)
Что и требовалось доказать.
Задача 5. Вычислите при nN.
Решение:
(по 1.2.6)
(по 1.2.3)
(по 1.2.4)
(по 1.2.2)
Задача 6. Вычислите (n + 2 + O(n-1))n с относительной погрешностью
O(n-1), при n.
Решение:
(по 1.2.3 и 1.2.4)
При n k = (2n-1 + O(n-2)) 0, тогда ln (1 + k) 0. Тогда при n
ln (1 + k) = k.
(по 1.2.9)
.
Задача 7. Докажите, что , при nN, n.
Решение:
Покажем, что .(*)
По определению - функция аn такая, что . Получаем, что , значит .
Теперь докажем, что :
= (по 1.2.4 и 1.2.6) = = (по (*))
= (по 1.2.6) = (по 1.2.9)
= (по 1.2.6) =.
Глава 2. Приложения символа О.
1. Асимптотическое решение трансцендентны?/p>