Аффинные и проективные многообразия
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
?циативная алгебра с единицей тогда и только тогда изоморфна аффинному координатному кольцу некоторого алгебраического множества в для некоторого ,когда конечно порождена над .
алгебра конечно порождена, если существует сюръективный гомоморфизм:
,
с ядром
При этом
.
Поскольку кольцо нетерово, то идеал конечно порожден, в нем можно выбрать конечную систему образующих
Тогда система уравнений задает искомое подмножество , такое, что .
Обратно, пусть алгебра изоморфна координатному кольцу некоторого замкнутого алгебраического множества в аффинном пространстве . Тогда определен сюръективный гомоморфизм алгебр , который и доказывает конечную порожденность алгебры
Пример 1.5 Показать, что, если - произвольное подмножество топологического пространства , то .
Для решения данной задачи необходимо привести определение размерности топологического пространства.
Размерностью топологического пространства называется точная верхняя грань множества всех целых чисел , таких, что существует цепочка отличающихся друг от друга неприводимых замкнутых подмножеств в .
Рассмотрим две цепочки неприводимых замкнутых подмножеств:
;
.
Нужно показать, что точная верхняя грань множества длин возрастающих последовательностей неприводимых замкнутых подмножеств в не превосходит точной верхней грани множества длин возрастающих последовательностей неприводимых замкнутых подмножеств в .
Возьмем возрастающую последовательность в :
,
очевидно, что ее нельзя уплотнить до .
Тогда возьмем цепочку замыканий множеств :
.
Может случиться, что данную цепочку уплотнить можно, то есть
.
Тогда и получается, что , что и требовалось показать.
ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Проективные многообразия определяются аналогично аффинным, разница лишь в том, что все понятия рассматриваются в проективном пространстве.
Введем проективное пространство над полем . Оно обозначается символом , где целое число (встречается и сокращенное обозначение ).
Пусть арифметическое мерное векторное пространство над полем . Рассмотрим множество . На этом множестве можно ввести отношение эквивалентности:
ненулевой скаляр , такой что
Множество классов этих эквивалентных наборов называется мерным проективным пространством. Иначе говоря, фактор множество множества по отношению эквивалентности, отождествляющему точки, лежащие на одной и той же прямой, проходящей через начало координат.
Большинство понятий определяются аналогично понятиям, связанным с аффинными многообразиям, поэтому их упоминать не будем, лишь добавим некоторые недостающие.
Кольцо называется градуированным, если оно обладает разложением в прямую сумму:
, где , а
аддитивные абелевы группы, такие что
,
где
Построение проективного пространства как фактор множества позволяет ввести на нем однородные координаты. Каждой точке ставится в соответствие набор, причем для всех считается, что .
Иначе говоря, имеют смысл не конкретные значения , а соотношения между ними.
Проективное пространство можно покрывать аффинными многообразиями. Построим такое покрытие.
Рассмотрим проективную плоскость с однородными координатами . Построим множество , определяемое такой формулой:
При этом координаты точек в задаются соотношениями :
Затем построим по аналогии подмножество : в котором Проведем замену
Аналогично, задается требованием и заменой
Таким образом, получаем
Очевидно,
.
Множество называется аффинной картой (в данной системе координат). Точки
при отвечают одной и той же точке , лежащей на пересечении , тогда и только тогда ,когда поставив единицу на тое в векторе и на тое место в векторе , мы получаем пропорциональные векторы. В частности,
,
точка отвечает точке , при .Точка из не лежит в , а точка из не лежит в .Естественно считать, что получается из добавлением точки с координатой .
Данная конструкция называется аффинным покрытием проективного пространства.
Теперь рассмотрим несколько примеров
Пример 2.2 Показать, что .
Для решения данной задачи необходимо привести определение размерности топологического пространства: пусть - топологическое пространство. Размерностью (обозначают ) называют точную верхнюю грань всех целых чисел n, таких, что существует цепочка
отличающихся друг от друга неприводимых замкнутых подмножеств . Размерности аффинного и проективного пространств определяются как размерность проективного пространства.
Как было оговорено в теоретической части работы, проективное пространство можно покрыть аффинными покрытиями, этим мы отождествим с . А для было доказано, что его размерность равна (1,гл.I,предложение 1.9).
Пример 2.3 Показать, что нётерово.
Выберем убывающую цепь замкнутых подмножеств:
образует цепь, обрывающуюся на конечном шаге. Предположим, что цепь
не обрывается,
то при , т.е.
Имеем цепь
в
Продолжая этот процесс, приходим к
точка
Я