Розробка учбового матеріалу для викладання вищої математики на тему "Наближені методи обчислення визначених інтегралів"
Информация - Педагогика
Другие материалы по предмету Педагогика
?улу, яка називається „формулою Симпсона” або „формулою парабол”:
(2.3.2)
Рис.2.7 Геометричне тлумачення „формули парабол"
Назва квадратурної формули (2.3.2) як „формула парабол" випливає з геометричного тлумачення інтеграла, якщо криву замінити параболою, що проходить через три точки (на рис.2.7 парабола показана пунктиром) і наближене значення інтеграла обчислювати як площу криволінійної трапеції, яка зверху обмежена графіком цієї параболи.
Знайдемо залишковий член квадратурної формули Симпсона. Для цього з наближеної рівності (2.3.2) запишемо формулу для похибки
(2.3.3)
Розкладемо функцію у ряд Тейлора в околі точки , припускаючи функцію такою, що розкладання можливе [7]:
Знайдемо точне значення інтеграла:
(2.3.4)
Тепер знаходимо
(2.3.5)
Підставимо (2.3.3) і (2.3.5) у праву частину рівності (2.3.4):
Отже похибка квадратурної формули Симпсона може бути записана у вигляді
(2.3.6)
З формули (2.3.6) видно, що алгебраїчний степінь точності квадратурної формули Симпсона дорівнює трьом, тобто ця формула має підвищений степінь точності.
Формулу Симпсона також можна застосовувати не до всього відрізка інтегрування, а до окремих його частин. Для цього поділимо відрізок на частин рівної довжини кожний, як показано на рисунку (2.8)
Рис.2.8 Геометричне тлумачення формули Симпсона
Візьмемо -й подвоєний відрізок, функцію проінтегруємо на цьому відрізку, використовуючи квадратурну формулу (2.3.1) з похибкою (2.3.5)
.
Просумувавши інтеграли за всіма подвоєними відрізками, добудемо узагальнену формулу Сімпсона
Якщо прийняти умову, що відстань між будь-якими двома сусідніми вузлами однакові і дорівнює , то останню формулу можна переписати в більш простому вигляді
Тепер запишемо окремо узагальнену формулу Сімпсона та її похибку
(2.3.7)
(2.3.8)
Геометричне зображення формули (2.3.7) показане на рисунку (2.8).
Наближене значення інтеграла (права частина наближеної рівності (2.3.7) - це площа криволінійної трапеції, яка зверху обмежена кусками парабол (крива показана пунктиром).
На кожному подвоєному відрізку графік функції наближається своєю параболою.
З формули (2.3.7) видно, що з ростом похибка дуже швидко зменшується.
2.4 Практичне порівняння точності методів наближеного обчислення інтегралів 3-ма методами
Застосовуючи ці три метода наведемо приклад:
Обчислимо наближене значення інтеграла
,
використовуючи квадратурні формули прямокутників, трапеції та Сімпсона. Для цього підготуємо таблицю значень підінтегральної функції у точках відрізка
Значення підінтегральної функції у вузлахixif (xi) 000,0000000010,10,1004987520,20, 2039607830,30,3132091840,40,4308131650,50,5590169560,60,6997141870,70,8544588580,81,024499890,91,21082621011,4142135
Квадратурні формули прямокутників (лівих, правих, центральних) дать такі результати:
,
У цьому прикладі інтеграл такий, що його точне значення можна обчислити, воно дорівнює (з точністю до сьомого розряду після коми)
Зауважимо, що хоча формула центральних прямокутників у цьому прикладі використана з вдвічі більшим кроком, ніж формули лівих та правих прямокутників, але результат вийшов ближчим до точного, ніж у двох інших методів.
За квадратурними формулами трапецій та Симпсона маємо такі результати:
Отже після обчислень за різними квадратурними формулами маємо такі наближені значення інтеграла:
; ;
З використаних формул більш точною є формула Симпсона, оскільки її алгебраїчний степінь точності на дві одиниці більший ніж у формули трапеції. Тому, користуючись апостеріорним методом оцінки похибки, в результаті, добутому за формулою Симпсона можна вважати три розряди після коми правильними, а четвертий розряд округленим тобто
Але, якщо порівняти з точним значенням інтеграла, то видно, що насправді результат, добутий за формулою Симпсона, має пять правильних розрядів після коми, шостий розряд округлений.
3. Графічне інтегрування
Задача графічного інтегрування полягає в наступному: за графіком неперервної функції потрібно побудувати графік її первісної функції.
(3.1)
Іншими словами, потрібно побудувати таку криву , ордината в кожній точці якої чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції з основою , обмеженою даною кривою .
Для наближеної побудови графіка первісної функції розбиваємо площу відповідної криволінійної трапеції, обмеженої кривій , на вузькі вертикальні смужки за допомогою ординат, проведених у точках (рис.3.1) [2].
Рис.3.1 Графічне інтегрування функції f (x) з отриманням первісної функції F (x) [2]
Кожну з таких смужок заміняємо, використовуючи теорему про середнє, рівновеликим (по можливості) прямокутником з тією ж основою і висотою, рівною , ,де деяка проміжна точка -го по порядку відрізка , тобто думаємо:
(3.2)
Де
(3.3)
Значення первісної функції
(3.4)
у точках можна підрахувати методом нагромадження:
(3.5)
Нехай - відповідні точки кривої . П?/p>