Geum.ru

Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

В іншому випадку потрібно перевірити дії пункту 3).

  • По формулам (2.4) обчислюємо коефіцієнти:

    •  

    Результати записуємо в перші три рядки розділу ІІ.

    1. Робимо перевірку. Сума елементів кожного рядка

      не повинна відрізнятися від більше чим на одиницю останнього розряду (якщо всі обчислення ведуться з постійним числом знаків після коми).

    2. Ділимо всі елементи першого рядка розділу ІІ на

      і результати записуємо в четвертому рядку розділу ІІ.

    3. Робимо перевірку, як в пункті 4).
    4. За формулами (2.7) обчислюємо

      Результати записуємо в перші два рядки розділу ІІІ.

    5. Робимо перевірку, як в пункті 6).
    6. Ділимо елементи першого рядка розділу ІІІ на

      і знаходимо числа . Всі результати записуємо в третьому рядку розділу ІІІ.

    7. Робимо перевірку.
    8. Обчислюємо

      . Результати записуємо в розділі IV.

      9. Обернений хід.
    9. В розділі V записуємо одиниці, як це показано в таблиці 1.
    10. Обчислюємо

    11. Для обчислення значення

      використовуємо лише рядки розділів І, ІІ, ІІІ, що містять одиниці, починаючи з останньої. Так, для обчислення помножимо на і результати віднімаємо з . При цьому одиниці, розставлені в розділі V, допомагають знаходити для відповідні коефіцієнти в помічених рядках.

      12. Таким чином,

      .

     

    1. Обчислюємо

      , для чого використовуємо елементи поміченого рядка розділу ІІ:

      2.  

     

    1. Обчислюємо

      , для чого використовуємо елементи поміченого рядка розділу І:

      2. Аналогічно проводиться обернений хід в контрольній системі. Розвязок цієї системи повинен відрізнятися від розвязку даної системи на 1 (з точністю до одиниці останнього розряду):

    Цей контроль здійснюється за допомогою стовпця

    Таким же чином реалізується компактна схема Гауса для систем з іншим числом невідомих. Компактна схема Гауса особливо потрібна при одночасному розвязанні декількох систем, які відрізняються лише стовпцями вільних членів, що має місце, наприклад, при обчисленні елементів оберненої матриці.

     

    Компактна схема Гауса для системи (2.12). Таблиця 2.

     

    1.3 Метод Гауса з вибором головного елемента

     

    1. Основна ідея методу. Може трапитись, що система

     

    Ax=f (1)

     

    де A - матриця m*m, x = (x1, x2...,xm) - шуканий вектор

    f =(f1, f2..., fm) -заданий вектор.

    має єдиний розвязок, хоча який-небудь з кутового мінору матриці А рівний нулю. В цьому випадку звичайний метод Гауса виявляється непридатним, але може бути застосований метод Гауса з вибором головного елементу.

    Основна ідея методу полягає в тому, щоб на черговому кроці виключати не наступне по номеру невідоме, а те невідоме, коефіцієнт при якому є найбільшим по модулю. Таким чином, як провідний елемент тут вибирається головний, тобто найбільший по модулю елемент. Тим самим, якщо , то в процесі обчислень не відбуватиметься ділення на нуль.

    Різні варіанти методу Гауса з вибором головного елементу проілюструємо на прикладі системи з двох рівнянь:

     

    (2)

     

    Припустимо, що . Тоді на першому кроці виключатимемо змінне . Такий прийом еквівалентний тому, що система (2) переписується у вигляді:

     

    (3)

     

    і до (3) застосовується перший крок звичайного методу Гауса. Вказаний спосіб виключення називається методом Гауса з вибором головного елементу по рядку. Він еквівалентний застосуванню звичайного методу Гауса до системи, в якій на кожному кроці виключення проводиться відповідна перенумерация змінних.

    Застосовується також метод Гауса з вибором головного елементу по стовпцю. Припустимо, що . Перепишемо систему (2) у вигляді:

     

    і до нової системи застосуємо на першому кроці звичайний метод Гауса. Таким чином, метод Гауса з вибором головного елементу по стовпцю еквівалентний застосуванню звичайного методу Гауса до системи, в якій на кожному кроці виключення проводиться відповідна перенумерация рівнянь.

    Іноді застосовується і метод Гауса з вибором головного елементу по всій матриці, коли як ведучий вибирається максимальний по модулю елемент серед всіх елементів матриці системи.

    1. Матриці перестановок. Раніше було показано, що звичайний метод Гауса можна записати у вигляді:

     

     

    де -- елементарні нижні трикутні матриці. Щоб отримати аналогічний запис методу Гауса з вибором головного елементу, необхідно розглянути матриці перестановок.

    Означення 1. Матрицею перестановок Р називається квадратна матриця, у якої в кожному рядку і в кожному стовпці тільки один елемент відмінний від нуля і рівний одиниці.

    Означення 2. Елементарною матрицею перестановок називається матриця, отримана з одиничної матриці перестановкою к-го і l-го рядків.

    Наприклад, елементарними матрицями перестановок третього порядку є матриці:

     

    Можна відзначити наступні властивості елементарних матриць перестановок, витікаючі безпосередньо з їх визначення.

    1. Добуток двох (а отже, і будь-якого числа) елементарних матриць перестановок є матриця перестановок (не обовязково елементарною).
    2. Для будь-якої квадратної матриці А матриця відрізняється від А перестановкою к-го і l-го стовпців.
    3. Для будь-якої квадратної матриці А матриця відрізняється від А перестановкою к-го і l-го стовпців.

    Застосування елементарних матриць перестановок для опису методу Гауса з вибором головного елементу по стовпцю можна пояснити на наступному прикладі системи тре?/p>