Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
»ень.
Чисельні методи розрізняються:
? за широтою і легкістю застосування, тобто за ступенем своєї універсальності та інваріантності для розвязання різних математичних задач;
? за складністю їх програмування;
? за можливостями використання у разі їх реалізації наявних бібліотек функцій і процедур, створених для підтримки різних алгоритмічних мов;
? за ступенем чутливості до погано обумовлених (або некоректних) математичних задач, коли малим змінам вхідних даних можуть відповідати великі зміни розвязку.
1. Теоретична частина
1.1 Метод Гауса
Метод Гауса (або метод послідовного виключення невідомих) застосовний для розвязання систем лінійних рівнянь, в яких число невідомих може бути або рівно числу рівнянь, або відмінно від нього.
Система т лінійних рівнянь з п невідомими має вигляд:
x1, x2., xn невідомі.
ai j - коефіцієнти при невідомих.
bi - вільні члени (або праві частини)
Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розвязок, і несумісною, якщо вона не має розвязків.
Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдине розвязок і невизначеною, якщо вона має незліченну безліч розвязків.
Дві сумісні системи називаються рівносильними, якщо вони мають одну і ту ж множину розвязків.
До елементарних перетворень системи віднесемо наступні:
- зміна місцями два будь-яких рівнянь;
- множення обох частин будь-якого з рівнянь на довільне число, відмінне від нуля;
- збільшення до обох частин одного з рівнянь системи відповідних частин іншого рівняння, помножених на будь-яке дійсне число.
Елементарні перетворення переводять систему рівнянь в рівносильну їй.
Для простоти розглянемо метод Гауса для системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими у разі, коли існує єдиний розвязок:
Дана система:
(1)
1-й крок методу Гауса.
На першому кроці виключимо невідоме х1 зі всіх рівнянь системи (1), окрім першого. Хай коефіцієнт . Назвемо його провідним елементом. Розділимо перше рівняння системи (1) на а11. Отримаємо рівняння:
(2)
де
Виключимо х1 з другого і третього рівнянь системи (1). Для цього віднімемо з них рівняння (2), помножене на коефіцієнт при х1 (відповідно а21 і а31).
Система прийме вигляд:
(3)
Верхній індекс (1) указує, що мова йде про коефіцієнтах першої перетвореної системи.
2-ий крок методу Гауса. На другому кроці виключимо невідоме х2 з третього рівняння системи (3).
Хай коефіцієнт . Виберемо його за провідний елемент і розділимо на нього друге рівняння системи (3), отримаємо рівняння:
(4)
де
З третього рівняння системи (3) віднімемо рівняння (4), помножене на Отримаємо рівняння:
Припускаючи, що знаходимо:
В результаті перетворень система прийняла вигляд:
(5)
Система вигляду (5) називається трикутною.
Процес приведення системи (1) до трикутного вигляду (5) (кроки 1 і 2) називають прямим ходом методу Гауса.
Знаходження невідомих з трикутної системи називають зворотним ходом методу Гауса.
Для цього знайдене значення х3 підставляють в друге рівняння системи (5) і знаходять х2. Потім х2 і х3 підставляють в перше рівняння і знаходять х1.
У загальному випадку для системи т лінійних рівнянь з п невідомими проводяться аналогічні перетворення. На кожному кроці виключається одне з невідомих зі всіх рівнянь, розташованих нижче провідного рівняння.
Звідси інша назва методу Гауса метод послідовного виключення невідомих.
Якщо в ході перетворень системи виходить суперечливе рівняння вигляду 0 = b, де b 0, то це означає, що система несумісна і розвязків не має.
У разі сумісної системи після перетворень по методу Гауса, складових прямий хід методу, система т лінійних рівнянь з п невідомими буде приведена або до трикутного або до ступінчастого вигляду.
Трикутна система має вигляд:
Така система має єдине рішення, яке знаходиться в результаті проведення зворотного ходу методу Гауса.
Ступінчаста система має вигляд:
Така система має незліченну множину розвязків. Щоб знайти їх, у всіх рівняннях системи члени з невідомими хk+1., xk переносять в праву частину. Ці невідомі називаються вільними і надають їм довільні значення. З отриманої трикутної системи знаходимо х1., xk, які виражатимуться через вільних невідомих.
1.2 Компактна схема Гауса
Якщо обчислення по схемі єдиного ділення ведуться за допомогою обчислювальних машин, то багато часу затрачається на запис проміжних результатів. Компактна схема Гауса дає економний спосіб запису. Розглянемо порядок складення схеми для системи:
Всі результати обчислення будемо записувати в одну таблицю (Таблиця 1)
Компактна схема Гауса. Таблиця 1.
Порядок заповнення таблиці.
Прямий хід.
- Записуємо коефіцієнти даної системи в чотирьох рядках і пяти стовпцях розділу І таблиці 1.
- Додаємо всі коефіцієнти по рядку і записуємо суму в стовпчик
(стовпчик контролю), наприклад .
- Ділимо всі числа, які стоять в першому рядку, на
і результати записуємо в пятому рядку розділу І.
- Обчислюємо
і робимо перевірку. Якщо обчислення ведуться з постійним числом знаків після коми, то числа і не повинні відрізнятися не більше ніж на одиницю останнього розряду.