Geum.ru

Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

? і отримаємо

 

 

Перший доданок в квадратних дужках дорівнює нулю через рівність нулю останнього співмножника. Рівняння набере вигляду

.

 

Множник, який стоїть перед квадратними дужками, не дорівнює нулю з умов теореми, отже нулю дорівнює вираз у квадратних дужках. А це і є рівняння із системи (43). Отже, ми довели, що за довільних рівняння в системах (43) і (44) еквівалентні, а , значить, і системи рівносильні. Тому при , а .

Доведемо справедливість відношення (43) для похибок наближення. Оскільки системи (43) і (44) рівносильні, то точки, в яких досягається максимальні похибки, збігаються. Нехай точка , в якій досягається максимальна похибка наближення функції ермітовим сплайном з ланкою (39). Тоді похибка в цій точці дорівнює

 

.

 

Із цієї рівності випливає, що

 

.

 

У правій частині маємо відносну похибку наближення функції ермітовим сплайном з ланкою (40) на проміжку . Звідси . Теорема доведена.

За допомогою цієї теореми можна отримувати наближення ермітовим сплайном з ланкою (40) шляхом знаходження наближення ермітовим сплайном з простішою ланкою (39). Зокрема, наближення до функції ермітовим сплайном з ланкою вигляду зводиться до наближення функції ермітовим сплайном з ланкою . При цьому найбільша відносна похибка першого наближення виражається через найбільшу абсолютну похибку другого наближення.

Теорема 2. Нехай для функції при існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду

 

(45)

 

Тоді для функції на проміжку з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з непарною кількістю параметрів і ланками вигляду

 

(46)

 

Нехай найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (45), а найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою вигляду (45). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;

 

(47)

. (48)

 

Доведення. В теоремі 1 до системи рівнянь (42) додається рівняння

 

, (49)

а до системи (43) рівняння

 

(50)

 

Для доведення цієї теореми для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів необхідно довести еквівалентність рівнянь (48) і (50). Для цього перепишемо (50) у вигляді

 

.

 

Про логарифмуємо і отримаємо

 

,

 

де із умови теореми 2 , а .Тобто рівняння (50) зведено до (49). Теорему доведено.

Властивість 1. Нехай при . Тоді

 

(51)

 

Доведення. Із теорем 1 і 2 випливає, що наближення функції на ермітовим сплайном з ланкою може бути знайдено через наближення функції на цьому проміжку ермітовим сплайном з ланкою . При цьому із формули (42) випливає, що максимальна відносна похибка першого наближення виражається через максимальну абсолютну похибку другого наближення

 

Із рівності похибок і формули (37) матимемо

 

.

 

Цей вираз справедливий для довільних , і проміжків лише в тому випадку, якщо підінтегральні вирази рівні між собою. Із їх рівності випливає вираз (51).

Тепер можна вивести аналітичний вираз для ядра похибки наближення ермітовим сплайном з ланкою (1). Ядро похибки наближення многочленом степеня має вигляд . Застосувавши формулу (52), отримаємо

 

. (52)

 

Для ермітового сплайна з експоненціальною ланкою (6) ядро матиме такий вигляд:

 

.

 

А для ланки (13)

 

5. Рівномірне наближення ермітовими сплайнами

 

Наближення функції ермітовим сплайном називаємо рівномірним наближенням з заданою похибкою , якщо , де - вага наближення,.

Алгоритм рівномірного наближення ермітовими сплайнами з заданою похибкою. Алгоритм не залежить від виду сплайна.

  1. Будуємо ланку нелінійного ермітового сплайна на всьому інтервалі

    . Ліва границя права

  2. Знаходимо похибку наближення

    .

  3. Якщо

    , то наближення побудоване. Кінець.

  4. Якщо

    , то зсуваємо праву границю інтервалу вліво, поки похибка на даному інтервалі не стане меншою від заданої похибки . Допустимо, що при -му зсуві границі вліво (т. )похибка рівна , а на попередньому кроці ( права границя ). Тоді можна знайти таку праву границю , при якій похибка буде як завгодно мало відрізнятися від заданої . Точку можна знайти одним із відомих способів, наприклад методом ділення відрізка навпіл або методом хорд.

  5. Запамятовуємо границі ланки і параметри ермітового сплайна.
  6. Лівою границею наступної ланки є права границя попередньої ланки. Правою границею можна завжди вважати т.

    , але можна також екстраполювати точкою де - довжина попередньої ланки.

  7. Будуємо сплайн і знаходимо похибку.
  8. Якщо

    , то переходимо до пункту 4.

  9. Якщо

    і , то і переходимо до пункту 7. В протилежному випадку, при , запамятовуємо границі та параметри нелінійного ермітового сплайна. Рівномірне наближення з заданою похибкою знайдено.

    10. Очевидно, що описаний алгоритм приводить до єдиного рішення, якщо наближувана функція

    і сплайн такі що функція похибки

    ,

    є неспадною функцією від . Для цього достатньо, щоб ядро наближення при .

Із означення ермітового сплайна можна запропонувати інший алгоритм знаходження його параметрів. При (парна кількість параметрів) параметри визначаються із тих же рівнянь, що й у випадку фіксованих вузлів, до яких додаються рівняння для точки екстремумуі правої г?/p>