Рівномірне наближення функцій ермітовими сплайнами
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
?теми (14), отримаємо два вирази для
, (16)
. (17)
Прирівнявши між собою вирази для із (16) і (17), отримаємо рівняння
(18)
Де
Підставивши перший вираз для (15) і перший вираз для (16) в друге рівняння системи (14) отримаємо рівняння
(19)
Де
Підставивши третій вираз для (15) і перший вираз для (16) в пяте рівняння системи (14) отримаємо рівняння
(20)
де
Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (18-20) щодо трьох невідомих . Розвязавши її отримаємо
(21)
Із формул (15), (16), (17) і (21) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (13) є виконання умови .
3. Многочленні ермітові сплайни
При отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів .
Ланка такого сплайна має вигляд
. (22)
Означення 3. Нехай , - многочлен 3-го степеня На множині задані значення функції та її похідної. Кубічним ермітовим сплайном називатимемо функцію з ланкою (22)
, (23)
яка задовольняє систему рівнянь
(24)
де - параметри сплайна на -й ланці;
Згідно означення 3 параметри ланки ермітового сплайна (23) з ланкою (22) задовольняють системі рівнянь (24)
(25)
де - ліва, а - права границі ланки; ,. Розвяжемо систему (25) щодо невідомих . Отримаємо формули для обчислень значень параметрів:
(26)
При отримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів . Ланка такого сплайна має вигляд
(27)
Означення 4. Нехай , - многочлен 4-го степеня. На множині задані значення функції та її похідних до - го порядку включно, а на множині задані значення функції . Многочленним ермітовим сплайном 4-го степеня називатимемо функцію виду (3), яка задовольняє систему рівнянь
(28)
Згідно з означенням 4 параметри ланки (27) ермітового сплайна (23) задовольняють системі рівнянь (28):
(29)
де . Розвяжемо систему (29) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (29) знайдемо вирази для
. (30)
Прирівняємо вирази для (31) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (29), отримаємо два вирази для
(31)
(32)
Прирівнявши між собою вирази для із (32) і (33), отримаємо рівняння
(33)
Підставивши перший вираз для (30) і перший вираз для (31) в друге рівняння системи (29) отримаємо рівняння
(34)
Підставивши третій вираз для (30) і перший вираз для (31) в пяте рівняння системи (30) отримаємо рівняння
(35)
Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (23-35) щодо трьох невідомих . Розвязавши її отримаємо
(36)
Із формул (30), (31), (32) і (36) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (27) є виконання умови .
4. Похибки наближення ермітовими сплайнами
Максимальна похибка рівномірного наближення нелінійними ермітовими сплайнами з парною кількістю параметрів у ланці має вигляд
, (37)
а для ермітових сплайнів з непарною кількістю параметрів
(38)
де - кількість ланок сплайна на інтервалі , - вагова функція, - ядро похибки наближення, - дефект ермітового сплайна, . Для ермітового сплайна з ланкою (13) кількість параметрів , дефект сплайна за означенням , величина . Щоб скористатись формулами (37) і(38), потрібно мати вираз для ядра похибки наближення , який би не залежав від параметрів ланки сплайна . Вирази для конкретних ядер можна знайти, використовуючи властивості ядер похибок, які випливають із обмінних теорем.
Теорема 1. Нехай для функції при існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів з вузлами і ланками вигляду
(39)
Тоді для функції на проміжку з тими ж вузлами існує єдине наближення ермітовим сплайном з парною кількістю параметрів і ланками вигляду
(40)
Нехай найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою (39), а найбільша відносна похибка наближення функції на проміжку ермітовим сплайном з ланкою вигляду (40). В цьому випадку між параметрами наближень мають місце співвідношення;
(41)
. (42)
Доведення. Сплайн з ланкою вигляду (39) характеризується системою рівнянь
(43)
а сплайн з ланкою вигляду (40) системою рівнянь
(44)
Надалі опускаємо індекс, який вказує на приналежність параметра до -ї ланки. Із системи (44) при матимемо
.
Подамо як , про логарифмуємо це рівняння і отримаємо
,
де . Тобто при рівняння із системи (44) зведене до рівняння із системи (43).
При рівняння із системи (44) має вигляд
.
Помножимо чисельник і знаменник цього рівняння на
.
Оскільки з умов теореми не дорівнюють нулю, то рівність досягається за умови, що
,
а це і є рівняння із системи (43) при .
Використовуючи метод математичної індукції, покажемо, що рівняння із системи (44) зводиться до рівнянь із системи (43) за довільних . Нехай це доведено для . Доведемо для . Рівняння із системи (43) при :
.
Для рівняння із системи (44) має вигляд
.
Про диференціюємо це рівнянн?/p>