Решение смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
Введение
Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкое приложение в математической физике, гидродинамике, акустике и других областях знаний. Большинство таких уравнений в явном виде не решаются. Поэтому широкое распространение получили методы приближенного их решения, например метод сеток, частным случаем которого является разностный метод [2]. Это универсальный и эффективный метод. Он позволяет сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений [3].
Цели курсовой работы:
). Обзор литературы по теме Решение смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом.
). Реализация разностного метода применительно к смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения в системе программирования Borland C++ Version 3.1.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения. Первая глава посвящена обзору основных понятия, касающихся разностных схем. Во второй главе рассматривается смешанная краевая задача, для которой приведен алгоритм построения разностной схемы, а также описание программы smesh_giperb и её тест на конкретном примере. В приложении представлен код программы, позволяющий получить приближенное решение смешанной краевой задачи с граничными условиями третьего рода.
Глава 1. Разностные методы решения дифференциальных уравнений
Характерной особенностью различных разностных методов является то, что в качестве приближенного решения выбирается сеточная функция. Выделим основные пункты построения и исследования разностных схем.
. Заменить область непрерывного изменения аргумента на дискретную область изменения. Это дискретное множество точек называется сеткой или решеткой, а отдельные точки этого множества - узлами сетки. Чаще всего сетка выбирается прямоугольной и равномерной.
. Заменить в узлах этой сетки производные искомой функции разностными отношениями, использовав формулы численного дифференцирования.
. Проверить условие аппроксимации разностной схемы.
. Доказать устойчивость построенной разностной схемы. Это один из наиболее важных и сложных вопросов. Если схема обладает аппроксимацией и устойчивостью, то о сходимости разностной схемы судят о теореме доказанной ниже.
В результате получилась система алгебраических уравнений для определения приближённого решения. Такая система часто называется разностной схемой. Точно так же можно заменить и частные производные и свести краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных к алгебраической системе. Функция, определенная в узлах сетки называется сеточной функцией.
Сетка. Аппроксимация частных производных разностными отношениями.
Мы ввели уже понятие сетки, узлов сетки, разностной схемы и сеточной функции.
Обозначим
- искомая функция, ,
- открытая область с границей ,
- сетка на , где h - вещественный положительный параметр, характеризующий густоту точек на сетке.
- сеточная функция, совпадающая с точным решением дифференциальной краевой задачи во всех узлах сетки , называемая точным решением на сетке или точным сеточным решением.
Теперь рассмотрим примеры сеток.
Пример 1.
Равномерная сетка на отрезке. Разобьем единичный отрезок [0, 1] на N равных частей. Расстояние между соседними узлами назовем шагом сетки. Точки деления - узлы сетки. Множество всех узлов
и составляет сетку (рис. 1), в данном случае введенную на отрезке.
В это множество можно включить граничные точки . Обозначим
На отрезке [0, 1] вместо функции непрерывного аргумента y будем рассматривать функцию дискретного аргумента . Значения этой функции вычисляются в узлах сетки ,а сама функция зависит от шага сетки h как от параметра.
Пример 2.
Неравномерная сетка на отрезке. Рассмотрим отрезок . Вводя произвольные точки , разобьем его на N частей. Множество узлов образует неравномерную сетку . Расстояние между соседними узлами шаг сетки, равно и зависит уже от номера узла, т. е. является сеточной функцией. Шаги сетки удовлетворяют условию нормировки
Затем рассмотрим пример замены в узлах сетки производные искомой функции разностными отношениями.
Для начала определим разностные отношения, которые будут использоваться в дальнейших примерах.
, (1.1.1)
, (1.1.2)
(1.1.3)
Аналогично получаются приближённые разностные аналоги для частной производной по переменной t:
, (1.1.4)
, (1.1.5)
(1.1.6)
Для приближенного вычисления частных производных второго порядка также можно использовать формулы численного дифференцирования, например,
(1.1.7)
Пример 3
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Требуется найти функцию , определённую, непрерывную и имеющую частные производные первого порядка в области удовлетворяющую дифференциальному уравнению
(1.1.8)
и начальному условию
, . (1.1.9)
Здесь Т - заданная постоянная, а и - заданные функции. Если эти функции являются непрерывными, то задача будет иметь единственное решение - функцию . Это решение задачи Коши мы будем называть точным.
Введём в области D сетку:
Рис. 1
Здесь h и - заданные шаги сетки, а квадратными скобками обозначена операция вычисления целой части вещественного числа.
Будем искать приближённое р