Решение смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
µ представим в виде векторов:
Количество компонент этих векторов равно .
Введём целую постоянную и заметим, что величины , , и принадлежат векторному пространству . Рассмотренный пример показал, что практически любую дифференциальную краевую задачу можно представить в виде (1.2.1). При этом Lu и f будут представлять собой вектор-функции.
Нормы. Погрешность приближённого решения. Сходимость. Порядок сходимости
Обозначим через нормированное векторное пространство, которому принадлежат точное и приближённое сеточные решения, а через - нормированное векторное пространство, которому принадлежат величины и . Нормы элементов v, введенные в этих пространствах, будем обозначать и соответственно. Нормы в векторном пространстве можно вводить разные, и от их выбора будут зависеть свойства разностной схемы, описываемые ниже. Везде далее норма в пространстве будет выбираться по формулам или .Норму в пространстве мы будем указывать особо для каждой рассматриваемой задачи.
Погрешностью приближённого сеточного решения называется величина .
Для того чтобы можно было получить приближённое решение с заданной точностью, необходимо, чтобы погрешность приближённого решения стремилась к нулю при . Это свойство получило название сходимости. Дадим его развёрнутое определение.
Пусть существует положительное вещественное число H, такое, что существует единственное решение разностной краевой задачи . Если
, (1.3.1)
то говорят, что решение разностной краевой задачи сходится к решению дифференциальной краевой задачи при .
Если существуют положительные постоянные C и p, такие, что выполняется неравенство
, (1.3.2)
то говорят, что приближённое решение сходится к точному при с p-м порядком относительно h. Из условия (1.3.1), очевидно, следует равенство (1.3.2).
Разность
(1.3.3)
называется невязкой разностной схемы на точном решении дифференциальной краевой задачи. Напомним, что и принадлежат к нормированному векторному пространству . Величины и , очевидно, также будут принадлежать .
Величиной невязки называется её норма в этом пространстве:
. (1.3.4)
Пусть существует положительное вещественное число H, такое, что существует единственное решение разностной краевой задачи . Если
, (1.3.5)
то говорят, что разностная схема аппроксимирует задачу на её точном сеточном решении . Если, сверх того, найдутся вещественное положительное число и положительное число p, такие, что будет выполнено неравенство
, (1.3.6)
то говорят, что разностная схема аппроксимирует задачу на её точном сеточном решении с порядком p относительно h (или с порядком ).
Устойчивость
Пусть существует положительное вещественное число H, такое, что существует единственное решение разностной краевой задачи . Эта разностная схема называется устойчивой на паре пространств , если существуют положительные постоянные и , такие, что и , удовлетворяющего условию , разностная краевая задача
(1.4.1)
имеет единственное решение , причём
(1.4.2)
Устойчивость разностной схемы означает, что малому возмущению правой части разностной схемы отвечает малое возмущение решения разностной краевой задачи. Это внутреннее свойство разностных схем, не имеющее никакого отношения к исходной дифференциальной краевой задаче. Поэтому исследовать устойчивость несколько легче, чем исследовать сходимость. Если оператор является линейным (), то определение устойчивости можно переформулировать.
Дадим определение устойчивости для линейных разностных схем.
Разностная схема с линейным оператором называется устойчивой на паре пространств , если существует положительная постоянная , такая, что и разностная краевая задача
(1.4.3)
имеет единственное решение , причём
. (1.4.4)
Понятия аппроксимации и устойчивости связаны с понятием сходимости и позволяют облегчить её исследование. Эта связь устанавливается следующей теоремой.
Теорема 1
Если разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную краевую задачу с порядком и является устойчивой на паре пространств , то приближённое решение сходится к точному сеточному решению с порядком p относительно h.
Доказательство:
Из того, что разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную краевую задачу, следует, что .По определению этого предела для положительного числа (из определения устойчивости) найдётся положительное число H, такое, что будет выполнено неравенство . Здесь учтено, что h положительно, а норма неотрицательна. Зададим любое h из и положим . Тогда и, согласно(1.4.2), разностная краевая задача
будет иметь единственное решение . Заметим, что правая часть этого уравнения и, следовательно, выполняется равенство . Это означает, что является решением этой же разностной краевой задачи, а поскольку решение этой задачи единственно, . Тогда из(1.4.18) получим:
.
производная аппроксимация краевой задача
Из того, что разностная краевая задача аппроксимирует дифференциальную краевую задачу с порядком , следует, что . Отсюда . Что и требовалось доказать.
Доказанная теорема позволяет проводить исследование сходимости приближённого решения к точному в 2 этапа. Вначале находится порядок аппроксимации разностной схемы, а затем доказывается её устойчивость. Как показывает пример 4, оп