Решение смешанной краевой задачи для гиперболического уравнения разностным методом
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
ешение этой задачи на сетке D. Поскольку является точным решением нашей дифференциальной краевой задачи, в каждом узле сетки будет выполняться дифференциальное уравнение
и в каждом узле, лежащем на нижней границе области D (), будут выполняться начальные условия
.
Заменим частные производные, входящие в дифференциальное уравнение, разностными отношениям (1.1.4) и (1.1.1) и получим в результате систему приближённых равенств, связывающих значения функции в узлах сетки:
(1.1.10)
, (1.1.11)
Для вычисления приближённого решения мы получили следующую систему линейных алгебраических уравнений:
(1.1.12)
,
, (1.1.13)
Для решения системы (10.1.12) - (10.1.13) выразим из (1.1.12) и получим рекуррентную формулу:
, (1.1.14)
.
Зная , по этой рекуррентной формуле при последовательно находим , , …, . Таким образом, система (1.1.12) - (1.1.13), действительно, имеет единственное решение. Но получить его практически невозможно, поскольку сетка содержит бесчисленное множество узлов.
Операторная форма записи дифференциальных краевых задач
Введём общее обозначение для любой дифференциальной краевой задачи. Запишем её в виде операторного уравнения:
(1.2.1)
где - искомая функция, , - открытая область с границей , f - заданная функция, L - заданный дифференциальный оператор, действующий на функцию . Будем считать, что задача (1.2.1) имеет единственное решение , которое мы в дальнейшем будем называть точным решением.
Пусть для решения дифференциальной краевой задачи составлена разностная краевая задача (разностная схема). Запишем её в виде операторного уравнения:
. (1.2.2)
Здесь - сеточное решение разностной краевой задачи, которое называется также приближённым сеточным решением дифференциальной краевой задачи .
Пример 4
Построение разностной схемы для смешанной краевой задачи для уравнения параболического типа.
Требуется найти функцию , определённую, непрерывную и имеющую частные производные второго порядка в области , удовлетворяющую дифференциальному уравнению
, (1.2.3)
начальному условию
, (1.2.4)
и граничным условиям
, , (1.2.5)
, , (1.2.6)
.
Здесь Т - заданная постоянная, а , , , , - заданные функции. Дифференциальное уравнение (1.2.3) описывает процесс распространения тепла в прямолинейном стержне. Поэтому его называют уравнением теплопроводности. Будем считать, что выполнены все условия, при которых сформулированная краевая задача имеет единственное решение - функцию .
Введём в области D сетку (рис. 3):
Рис. 2
Значения целой постоянной М и шага считаются заданными. Будем искать приближённое решение этой задачи на сетке. Поскольку является точным решением нашей дифференциальной краевой задачи, в каждом узле сетки будет выполняться дифференциальное уравнение
,
в каждом узле, лежащем на нижней границе области D (), будет выполняться начальное условие
,
в каждом узле, лежащем на левой границе области D (), будет выполняться граничное условие
,
в каждом узле, лежащем на правой границе области D (), будет выполняться начальное условие
.
Заменим частные производные, входящие в дифференциальное уравнение, разностными отношениями (1.1.4) и (1.1.7) и получим в результате систему приближённых равенств, связывающих значения функции в узлах сетки:
(1.2.7)
, (1.2.8)
, , (1.2.9)
, . (1.2.10)
Поскольку равенства (1.2.7) являются приближёнными, решив систему (1.2.7) - (1.2.10), мы получим, не точные значения , а приближённые. Обозначим их через (). В результате для определения получим разностную схему:
(1.2.11)
, (1.2.12)
, , (1.2.13)
, . (1.2.14)
Выразим из (1.2.11). В результате получается рекуррентная формула
(1.2.15)
применяя которую последовательно при , можно, зная , и , в явном виде определить , , …, . По этой причине построенная разностная схема получила название явной разностной схемы для уравнения теплопроводности. И другие разностные схемы, обладающие этим свойством, получили название явных схем.
Если вместо формулы (1.1.4) для аппроксимации частной производной использовать аналогичную формулу (1.1.5),то в результате вместо системы уравнений (10.1.23) получится система:
(1.2.16)
Разностная схема (1.2.16), (1.2.12)-(1.2.14) получила название неявной разностной схемы для уравнения теплопроводности, так как для её решения не удалось получить явной рекуррентной формулы, типа (1.2.15).
Погрешность замены частных производных разностными отношениями стремится к нулю при h и . Поэтому можно ожидать, что и погрешность приближённого решения также будет стремиться к нулю при h и , и за счёт уменьшения шагов сетки h и можно получать приближённые решения с любой заданной точностью.
Требуется записать её в виде операторного уравнения (1.2.2) и выяснить, что представляют собой основные объекты (, , и ) операторной записи. Сетка
Густоту сетки регулируют два параметра: М (или hрh) и . Один из них можно сделать основным, например, h, а второй параметр сделать зависимым от него, введя функцию , такую, что при . Тогда густота сетки будет определяться только параметром h.
Приближённое решение удобно представить в виде вектора с компонентами: . Точное сеточное решение представляется аналогичным вектором:
и такж?/p>