Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
?и отсутствии ограничений под областью изменения параметра подразумевается множество всех действительных чисел. Если параметру, содержащемуся в уравнении , придать некоторое конкретное числовое значение, то возможен один из случаев:
а) получится неравенство с одной неизвестной x;
б) получится выражение, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором - недопустимым.
Решить неравенство с параметром - это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех удовлетворяющих неравенству значений неизвестного, т.е. указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Выражение (2) - это, по существу, краткая запись семейства неравенств, получающихся из него при заданных значениях параметра . Поэтому решить неравенство (2) (с переменной x и параметром a) - это значит на множестве действительных чисел решить семейство неравенств, получаемых из (2) при всех допустимых значениях параметра a.
При некоторых множествах из допустимых значений параметра a могут получаться одни семейства неравенств, при иных - другие. Поэтому для облегчения решения удобно нанести на числовую прямую значения параметра, называемые контрольными, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения неравенства. Например, неравенство из квадратного становится линейным.
Два неравенства, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
2. Алгоритм решения
Алгоритм решения неравенства с параметром аналитически ( аналогичен алгоритму решения уравнений с параметром)
. Определяют ограничения, налагаемые на значения неизвестного x и параметра a, вытекающие из того, что функции и арифметические операции в (2) имеют смысл.
. Определяют формальные решения (2), записываемые без учета ограничений. Если при решении возникают контрольные значения параметра, то их наносят на числовую ось Oa. Эти значения разбивают область допустимых значений параметра на подмножества. На каждом из подмножеств решают заданное уравнение.
. Исключают те значения параметра, при которых формальные решения не удовлетворяют полученным ограничениям.
. На числовую ось Oa добавляют значения параметра, найденные в п.3. Для каждого из промежутков на оси Oa записывают все полученные решения в зависимости от значений параметра a. (В случае достаточно простых неравенств п.4 можно опустить).
. Выписывают ответ, т.е. записывают решения в зависимости от значений параметра a.
Замечание. 1) Наличие параметра в задаче предполагает специальную форму записи ответа, позволяющую установить, каков ответ для любого допустимого значения параметра. Недопустимые значения также указываются в ответе, и считается, что при этих значениях параметра задача не имеет решения. При записи ответа обычно значения параметра перечисляются в порядке возрастания от ?? до +?, но иногда для компактности ответа объединяют промежутки для параметра, на которых формулы решения совпадают.
) В случае ветвления решения удобно использовать числовую прямую , на которую наносятся контрольные значения параметра, а на промежутках, на которые эти значения разбили прямую, указываются ответы задачи. Данный прием позволяет в дальнейшем не потерять найденные ответы и четко указать значения параметра, которым они соответствуют.
Продемонстрирую сказанное выше на примере.
Пример№4. Решить неравенство a(a-2) x> 2-a
Решение. Контрольные значения параметра получаются из условия a(a-2)=0, так как при a(a-2)=0 неравенство не содержит переменной x.
Нанесем на числовую ось Oa контрольные значения. Они разбивают ось Oa на промежутки (см. рис. 1):
) a2
На каждом из этих промежутков решим данное неравенство. Значения a=0и a=2 требуют отдельного рассмотрения.
Если a.
Если 0<a<2, то и a (a ?2) 0, следовательно, x < ?.
Если a>2, то a (a ?2) > 0 и x>.
При a=0 получаем неравенство 0x > 2 , не имеющее решений.
При a=2 получаем 0x=2, т.е. решений также нет.
Нанесем получаемые в ходе решения ответы на соответствующие промежутки числовой оси Oa и запишем ответ.
Замечание. Промежуток, к которому относится соответствующее решение, помечается на рисунке дугой. На ее конце ставится стрелочка в том случае, если это решение не относится к крайней точке промежутка.
Ответ. Если a; если a=0 и a=2, то решений нет.
Алгоритм решения неравенств с параметром графически.
.Находим область определения данного неравенства.
2.Сводим неравенство к уравнению.
3.Выражаем а как функцию от х.
.В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
.Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
.Исследуем влияние параметра на результат.
.найдём абсциссы точек пересечения графиков.
.Зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+
9.Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
3.