Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
?устить).
. Выписывают ответ, т.е. записывают решения в зависимости от значений параметра a.
Замечание. 1) Наличие параметра в задаче предполагает специальную форму записи ответа, позволяющую установить, каков ответ для любого допустимого значения параметра. Недопустимые значения также указываются в ответе, и считается, что при этих значениях параметра задача не имеет решения. При записи ответа обычно значения параметра перечисляются в порядке возрастания от ?? до +?, но иногда для компактности ответа объединяют промежутки для параметра, на которых формулы решения совпадают.
) В случае ветвления решения удобно использовать числовую прямую , на которую наносятся контрольные значения параметра, а на промежутках, на которые эти значения разбили прямую, указываются ответы задачи. Данный прием позволяет в дальнейшем не потерять найденные ответы и четко указать значения параметра, которым они соответствуют.
Продемонстрирую сказанное выше на примере.
Пример1.
Для каждого значения параметра решить уравнение (a-1)(a+2) x=a3 +2a2 .
Решение.
Контрольными являются значения параметра a, при которых (a-1)(a+2)=0 , т.е. a=1 и a=?2.
Если (a-1)(a+2)?0, то, поделив обе части уравнения на выражение (a-1)(a+2), получим x= ==.
При a=1 уравнение не имеет решений, т.к. левая часть равна нулю, а правая отлична от нуля.
При a=-2 уравнению удовлетворяет любое x?R, так как уравнение имеет вид 0? x=0.
Ответ. Если a=1, то решений нет; если a=?2, то x? R ; если a?1, a??2, то x=
Алгоритм решения уравнения с параметром графически.
1.Находим область определения уравнения.
2.Выражаем a как функцию от х.
.В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
.Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).
Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.
.Записываем ответ.
Пример №2.
При каких х уравнение имеет единственное решение?
Проведем графический анализ, построив график функции ( полупарабола с вершиной х=-3) и линейной функции ( множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2).
Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с увеличением a прямая у=2х - a перемещается вправо.
Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая переходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке х0
Угловой коэффициент равен 2, т. е. =2 , - абсцисса точки касания
Тогда уравнение касательной , a =
При х=-3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом а= -6.
А при а > -6 имеем одну точку пересечения.
Ответ:{ } U{-6; } .
3. Примеры
I. Решить уравнение (графически).
(1)
Решение.
Так как х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :
или
График функции - две склеенных гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.
Если а (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения a= относительно х.
Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение
.
Если а , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и .
Если а ( , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно, решений нет.
Ответ:
Если а (-;-1](1;+), то х= ;
Если а , то , ;
Если а ( , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.
Решение.
Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .
В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде
Поскольку график функции - это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную
Ответ: .
III. Неравенства с параметрами
1. Основные определения
Пусть дано неравенство с двумя переменными: F(x, a)?G(x,a) или F(x, a)>G(x,a). (2)
Задача о решении неравенства может быть сформулирована одним из двух следующих способов.
. Найти все пары чисел (x , a), удовлетворяющие этому уравнению. В этом случае выражение (1) называется неравенством с двумя переменными x и a, в котором обе переменные a и x играют одинаковую роль.
. Для каждого значения переменной a из некоторого числового множества A решить неравенство относительно x. Тогда выражение (1) называют неравенство с переменной x и параметром, а множество A - областью изменения параметра a.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные - буквами x, y,z.
П?/p>