Решение линейных уравнений различными методами
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра прикладной информатики
Курсовая работа по вычислительной математике
Казань-2012
Решение СЛАУ итерационными методами
Задание: решить систему линейных уравнений методам Якоби вручную, на Бейсике с точностью 0,00001
3 х 1 +0,7 х 2 +0,2 х 3 +0,2 х 4 =4
,06 х 1 +5 х 2 +0,5 х 3 +0,5 х 4 =5
,3 х 1 +0,3 х 2 +3,5 х 3 +0,4 х 4 =-5
,3 х 1 +0,3 х 2 +0,4 х 3 +4 х 4 =5
Ручной счет по методу Якоби:
х 1 =(4 -0,7 х 2 - 0,2 х 3 - 0,2 х 4 )/ 3
х 2 =(5-0,06 х 1 -0,5 х 3 - 0,5 х 4 )/5
х 3 =(-5-1,3 х 1 -0,3 х 2 -0,4 х 4 )/3,5
х 4 =(5-0,3 х 1 -0,3 х 2 -0,4 х 3 )/4
Первая итерация:
X1(1) =(4 -0,7 *0 - 0,2*0 - 0,2*0)/ 3=1,333333333
X2(1) =(5-0,06*0 -0,5 *0 - 0,5*0 )/5=1
X3(1) =(-5-1,3 *0 -0,3*0-0,4*0)/3,5=-1,428571429
X4(1) =(5-0,3*0 -0,3*0-0,4*0)/4=1,25
Вторая итерация:
X1(2) =(4 -0,7 *1 - 0,2*(-1,428571) - 0,2*1,25)/ 3=1,1119
X2(2) =(5-0,06*1,3333 -0,5 *(-1,428571) - 0,5*1,25 )/5=1,001857
X3(2) = (-5-1,3 *1,3333 -0,3*1 -0,4*1,25)/3,5=-2,15238
X4(2) =(5-0,3*1,3333 -0,3*1 -0,4*(-1,428571))/4=1,217857
Третья итерация:
X1(3) =(4 -0,7 *1,001857 - 0,2*(-2,15238) - 0,2*1,217857)/ 3=1,161868
X2(3) =(5-0,06*1,1119 -0,5 *(-2,15238) - 0,5*1,217857 )/5=1,0801
X3(3) =(-5-1,3 *1,1119 -0,3*1,001857 -0,4*1,217857/3,5=-2,0666
X4(3) = (5-0,3*1,1119 -0,3*1,001857-0,4*(-2,15238))/4=1,3067
Четвертая итерация:
X1(4) =(4 -0,7 *1,0801 - 0,2*(-2,0666) - 0,2*1,3067)/ 3=1,13196
X2(4) =(5-0,06*1,161868 -0,5 *(-2,0666) - 0,5*1,3067 )/5=1,06204
X3(4) =(-5-1,3 *1,161868-0,3*1,0801 -0,4*1,3067)/3,5=--2,10204
X4(4) =(5-0,3*1,161868 -0,3*1,0801-0,4*(-2,0666))/4=1,28851
Пятая итерация:
X1(5) =(4 -0,7 *1,06204 - 0,2*(-2,10204) - 0,2*1,28851)/ 3=1,13975
X2(5) =(5-0,06*1,13196 -0,5 *(-2,10204) - 0,5*1,28851 )/5=1,0677
X3(5) =(-5-1,3 *1,13196-0,3*1,06204 -0,4*1,2885)/3,5=--2,0873
X4(5) =(5-0,3*1,13196 -0,3*1,06204-0,4*(-2,10204))/4=1,29565
Шестая итерация:
X1(5) =(4 -0,7 *1,0677 - 0,2*(-2,0873) - 0,2*1,29565)/ 3=1,1369
X2(5) =(5-0,06*1,13975 -0,5 *(-2,0873) - 0,5*1,29565 )/5=1,0654
X3(5) =(-5-1,3 *1,13975-0,3*1,0677 -0,4*1,29565)/3,5=--2,0915
X4(5) =(5-0,3*1,29565 -0,3*1,0677-0,4*(-2,0873))/4=1,29316
Седьмая итерация:
X1(5) =(4 -0,7 *1,0654 - 0,2*(-2,0915) - 0,2*1,29316)/ 3=1,13794
X2(5) =(5-0,06*1,1369 -0,5 *(-2,0915) - 0,5*1,29316 )/5=1,0661
X3(5) =(-5-1,3 *1,1369-0,3*1,0654 -0,4*1,29316)/3,5=--2,0899
X4(5) =(5-0,3*1,1369 -0,3*1,0654-0,4*(-2,0915))/4=1,29316
Проверка точности:
| X1(5) - X1(4)|=0.0009 <0.001
|X2(5) - X2(4)|=0.0007 <0.001
|X3(5) - X3(4)|=0.0015 <0.001
|X4(5) - X4(4)|=0.0008 <0.001
Точность достигнута.
Программа на Бейсике:
ClS
a=0
b=0=0=0
X1=(4-0.7*b-0.2*c-0.2*d)/3= (5-0.06*a-0.5*c-0.5*d)/5=(-5-1.3*a-0.3*b-0.4*d)/3.5=(5-0.3*a-0.3*b-0.4*c)/4x1, x2, x3, x4t=x1=x2=x3
d=x4
Goto 1
end
Результаты выполнения программы:
Интерполяционный многочлен Ньютона
Задача: построить интерполяционный многочлен Ньютона вручную использую Excel.
Таблица зависимости значений функции от аргумента
X11,21,4 1,61,82Y12,12,93,85,25,9
Ручной счет
Многочлен Ньютона находится по формуле:
В Excel вычислим коэффициенты
В столбце А находятся Xi, в столбце B находятся Yi.
Расположение вычисленных коэффициентов:
ABCDEFG1X0Y02Y(X0,X1)3X1Y1Y(X0,X1,X2)4Y(X1,X2)Y(X0,X1,X2,X3)5X2Y2Y(X1,X2,X3)Y(X0,X1,X2,X3,X4)6Y(X2,X3)Y(X1,X2,X3,X4)Y(X0,X1,X2,X3,X4,X5,X6)7X3Y3Y(X2,X3,X4)Y(X1,X2,X3,X4,X5)8Y(X3,X4)Y(X2,X3,X4,X5)9X4Y4Y(X3,X4,X5)10Y(X4,X5)11X5Y5
Формулы вычисления коэффициентов:
линейный уравнение интерполяционный аппроксимирующий сплайн
,
, и т.д. ,
и т.д. ,
и т.д.
,
Формулы в программе Excel:
ABCDEFG1112=(B3-B1)/(A3-A1)31,22,1=(C4-C2)/(A5-A1)4=(B5-B3)/(A5-A3)=(D5-D3)/(A7-A1)51,42,9=(C6-C4)/(A7-A3)=(E6-E4)/(A9-A1)6=(B7-B5)/(A7-A5)=(D7-D5)/(A9-A3)=(F7-F5)/ (A11-A1)71,63,8=(C8-C6)/(A9-A5)=(E8-E6)/(A11-A3)8=(B9-B7)/(A9-A7)=(D9-D7)/(A11-A5)91,85,2=(C10-C8)/(A11-A7)10=(B11-B9)/(A11-A9)1125,9
Таблица значений:
ABCDЕFG11125,531,22,1-3,75448,33333333351,42,91,257,32747E-1464,58,333333333-41,6666666771,63,86,25-41,6666666787-2591,85,2-8,75103,5 1125,9
Нужные коэффициенты выделены жирным. Подставим их в многочлен Ньютона:
N(x)=1+5,5(х-1)-3,75(х-1)(х-1,2)+8,3333(х-1)(х-1,2)(х-1,4)+0(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)-41,667(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)(х-1,8)=1+(x-1)(5,5-3,75(x-1,2))+(x-1)(x-1,2)(x-1,4)(8,3333-41,6667(x-1,6)(x-1,8))
В результате получим:
N(х)=-41,6667*x5+291,6668*x4-799,997*x3+1074,585*x2-02,183*x+178,6
Проверим значения полученной функции в заданных точках:
N(1)=-41,6667*15+291,6668*14-799,997*13+1074,585*12-702,183*1+178,6=1,0051
N(1,2)= - 41,6667*(1,2)5+291,6668*(1,2)4-799,997*(1,2)3+1074,585*(1,2)2-702,183*1,2+178,6=2,1081
N(1,4)= - 41,6667*(1,4)5+291,6668*(1,4)4-799,997*(1,4)3+1074,585*(1,4)2-702,183*1,4+178,6=2,9122
N(1,6)= - 41,6667*(1,6)5+291,6668*(1,6)4-799,997*(1,6)3+1074,585*(1,6)2-702,183*1,6+178,6=3,8176
N(1,8)= - 41,6667*(1,8)5+291,6668*(1,8)4-799,997*(1,8)3+1074,585*(1,8)2-702,183*1,8+178,6=5,2242
N(2)=-41,6667*25+291,6668*24-799,997*23+1074,585*22-702,183*2+178,6=5,9324
Полученные значения функции c учетом погрешности вычисления совпадают с табличными значениями. Соответственно делаем вывод, что многочлен Ньютона вычислен верно.
Формула в Excel для проверки найденного многочлена Ньютона:
=B1+C2*(A1-A1)+D3*(A1-A1)*(A1-A3)+E4*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)+F5*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)*(A1-A7)+G6*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)*(A1-A7)*(A1-A9)
В ячейку А1 подставляем первое значение Х, для которого требуется узнать значение многочлена, растягиваем формулу до последнего значения.
Таблица результатов в Excel для табличных значений Х:
111,22,11,42,91,63,81,85,225,9
Вычисления произведены верно.
Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов
Задача: методом наименьших квадратов получить аппроксимирующую функцию и построить график.
Таблица зависимости значений функции от аргумента
X11,21,4 1,61,82Y12,12,93,85,25,9
Ручной счет:
Наша задача получить функцию вида:
Находя частные производные, получим систему уравнений:
Найдем коэффициенты: (n+1)=6
xx^2x^3x^4yy*xy*x^21111 1111,21,441,7282,07362,12,523,0241,41,962,7443,84162,94,065,6841,62,564,0966,55363,86,089,7281,83,245,83210,49765,29,3616,848248165,911,823,6Сумма: 914,223,439,966420,934,8259,884
Получим систему:
a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9
a 0+14,2 a 1 +23,4 a 2 =34,82
,2 a 0 +23,4 a 1 +39,9664 a 2 =59,884
Решим её методом Гаусса.
a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9 /*9
9 a 0+14,2