Решение линейных уравнений различными методами
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
a 1 +23,4 a 2 =34,82 / *6, вычтем из 1 строки вторую
14,2 a 0 +23,4 a 1 +39,9664 a 2 =59,884
a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9 /*14,2
,2 a 1 -12,6 a 2 =-20,82
,2 a 0 +23,4 a 1 +39,9664 a 2 =59,884 /*6, вычтем из 1 строки третью
a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9
,2 a 1 -12,6 a 2 =-20,82 /*(-12,6)
,6 a 1 -38,1584 a 2 =-62,524 /*(-4,2)
a 0 +9 a 1+14,2 a 2 =20,9
-4,2 a 1 -12,6 a 2 =-20,82
-1,5052a 2 =-0,3108
В результате получаем:
a 2 = 0,2064
a 1 =4,3376
a 0 =-3,5415
Коэффициенты вычислены, подставим их в уравнение:
*(-3,5415)+9 *4,3376+14,2 *0,2064=20,90028
*(-3,5415)+14,2*4,3376+23,4*0,2064=34,82018
,2*(-3,5415)+23,4 *4,3376+39,9664*0,2064=59,8856
Вычисление произведено верно.
Построим график полученной функции y=-3,5415+4,3376*x+0,2064*x2 в Excel:
Подставляя в полученную функцию табличные значение x, посмотрим на отклонения значений функции от табличных:
XY таблYвыч|Yвыч-Yтабл|?111,1008190,0325v(0,0325 2/6 + 0,1091642/6+0,065684 2/6 + 0,1570442/6 +0,235084 2/6 + 0,0893 2/6) =0,1324071,22,12,0788440,1091641,42,93,0702730,0656841,63,84,0751060,1570441,85,25,0933420,23508425,95,314050,0893Исходные точки.
Отличие графика полученной функции от исходного графика
Построение кубического сплайна
Задача: построить кубический сплайн по 6 точкам.
Таблица зависимости значений функции от аргумента
X11,21,41,61,82Y12,12,93,85,25,9
Вычисления:
Некоторая функция f(x) задана на отрезке [a,b], разбитом на части [xi-1,xi]. На каждом таком отрезке функция S(x) есть полином третьей степени Si(x), коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства Si(x) в виде:
i (x)= p i + k i (x- x i-1 )+ g i (x- x i-1 ) 2+ l i (x- x i-1 ) 3
Шаг: hi= hi-1=xi-xi-1
Формулы для вычисления коэффициентов:
Для нахождения gi составим систему, состоящую из уравнений:
hi-1*gi-1 +2(h i +h i+1 ) *g i+ h i *g i+1 =3((y i - y i-1) /h i - ( y i-1 - y i-2 )/h i-1 )
где i=2..n
Коэффициенты можно вычислить методом прогонки, используя формулу:
g i= gi+1*Ui+Vi
После нахождения необходимо вычислить
Далее вычисляем
i=(y i - y i-1 )/h i -h i /3 *( g i+1 +2*g i )
Коэффициенты нам известны из таблицы значений функции:
pi=y i-1 где i=1..n
Таким образом, мы найдем все коэффициенты и сможем составить уравнения кусков сплайна для каждого отрезка [xi-1,xi].
Составим систему уравнений для вычисления , она будет состоять из 6 уравнений
,8 g 2 +0,2 g 3= - 4,5
,2 g 2 +0,8 g 3+0,2 g 4 =1,5
,2 g 3 +0,8 g 4+0,2 g 5 =7,5
,2 g 4 +0,8 g 5= -10,5
Записываем коэффициенты:
abcd00,80,2-4,50,20,80,21,50,20,80,27,50,20,80-10,5
Решаем:
1=- c1 / b 1 =-0,251=d1 / b 1 =-5,625
А 2=- c2 / (a 2*A1 + b 2 )=-0,26667 2= (d2 - a 2*A1 )/( (a 2*A1 + b 2 )=3,5 3=- c3 / (a 3*A2 + b 3 )=-0,26786 3= (d3 - a 3*A2 )/( (a 3*A2 + b 3 )= 9,107143
U 4=0 ,т.к. с4 =0 4= (d4 - a 4*A3)/( (a 4*A3 + b 4 )= -16,5072
Обратный ход:
g5 = V4 = -16,5072
g4 =U3* g3+ V3 =13,52871
g3=U2* g2+ V2 =-0,107662=U1* g1 + V1 =-5,59809 1= g 6=0
Невязки: 0=0.00000000001 1=0.00000000000 2=-0.00000000000 3=-0.00000000000 4=0.00000000001 5=0.00000000000
Коэффициенты:
1=1 k 1=5,873205 l 1= -9,330131 g 1=0 2=2,1 k 2=4,753589 l 2= 9,150691 g2 = -5,5980793=2,9 k 3=3,612441 l 3= 22,72728 g3 =0,1076636 4=3,8 k 4=6,296649 l 4=-50,05979 g4 =13,52871
p 5=5,2 k 5=5,700957 l 5=27,51195 g5 = -16,50717
p 6=5,9 k6=0 l6= 0 g 6=0
Находим полином третьей степени:
S 1(x)=1+5,873205*(x-1) +0*(x-1) 2 +(-9,330131)*(x-1) 3=
= 4,45693-22.1172x+27,9904x2 -9,33013x3
S 2(x)=2,1+4,753589*(x-1,2) +(-5,598079)*(x-1,2) 2 +9,150691*(x-1,2) 3=
= -27,4779+57,72 x-38,5406x2 +9,15069x3
S 3(x)=2,9+3,612441*(x-1,4) +0,1076635*(x-1,4) 2+22,72728*(x-1,4) 3 =
= -64,3101+136,947 x-95,3469x2 +22,7273x3
S 4(x)=3,8+6,296649*(x-1,6) +13,52871*(x-1,6 )2+(-50,05979)*(x-1,6) 3=
= 233,404-421,454 x+253,816x2 -50,0598x3
S 5(x)=5,2+5,700957*(x-1,8) -16,50717*(x-1,8) 2 +27,51195*(x-1,8) 3=
=-218,995+332,543 x- 165,072x2+27,512x 3
По этим многочленам построим график в Excel
Программа для вывода коэффициентов каждого куска сплайна
Clsnx(n), y(n), a(n), b(n), c(n), d(n) 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2 [вводим значения X(i)]
Data 1, 2.1, 2.9, 3.8, 5.2, 5.9 [вводим значения Y(i)]
Data 0, 0.2, 0.2, 0.2 [вводим значения коэффициентов a(i) из системы уравнений для вычисления ]
Data 0.8, 0.8, 0.8, 0.8 [ вводим значения коэффициентов b(i) из системы уравнений для вычисления ]
Data 0.2, 0.2, 0.2, 0 [вводим значения коэффициентов c(i) из системы уравнений для вычисления ]
For i=1 to nx(i) i
For i=1 to ny(i)ii=1 to n-2(i)=3*((y(i+2)-y(i+1))/0.2-(y(i+1)-y(i))/0.2) [вычисление коэффициента d(i) из системы уравнений для вычисления ]
Next ii=1 to n-2a(i)ii=1 to n-2b(i)ii=1 to n-2c(i)ii=1 to n-2
u(i)=-c(i)/(a(i)*u(i-1)+b(i)) [прогоночный коэффициент ](i)=(d(i)-a(i)*v(i-1))/(a(i)*u(i-1)+b(i)) [прогоночный коэффициент ]
next ii=n to 1 step-1
g(i)=u(i)*g(i+1)+v(i) [вычисляется gi из уравнения]
next ii=1 to n(i)=(y(i+1)-y(i))/0.2-0.2/3*(g(i)+2*g(i-1)) [вычисляется коэффициент сплайна]ii=1 to n-1(i)=(g(i)-g(i-1))/0.6 )) [вычисляется коэффициент сплайна]
next ii=1 to n(i)=y(i)ii=1 to n-1p(i) , k(i), l(i), g(i)i.
Ответ:
1=1 k 1=5.873205 l 1= -9.330131 g 1=0 2=2.1 k 2=4.753589 l 2= 9.150691 g2 = -5.598079 3=2.9 k 3=3.612441 l 3= 22.72728 g3 =0.1076636 4=3.8 k 4=6.296649 l 4=-50.05979 g4 =13.52871 5=5.2 k 5=5.700957 l 5=27.51195 g5 = -16.50717
p 6=5.9 k 6=0 l 6= 0 g6=0
Вычислить значение функции х0=1,75
Задача: Вычислить значение функции х0=1,75 использую полученную аппроксимирующую функции:
N(1,75)=-41,6667*(1,75)5+291,6668*(1,75)4-799,997*(1,75)3+1074,585(1,75)x2-702,183*(1,75)+178,6=4,849
Вычисляем значение функции х0=1,5 использую полученную аппроксимирующую функцию методом наименьших квадратов:
y=-3,5115+4,3376*х+0,2064*х2=- 3,5115+4,3376*1,75+0,2064*1,752=4,7114
Вычисляем значение функции х0=1,75 использую полученную полином третьей степени S(x):
S (1,75)= 232,757-50,0598*1,75^3+253,816*1,75^2-421,05*1,75=4,941759