Расчет электростатического поля заряженного тела
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
>
где г, - расстояние между зарядом qi и интересующей нас точкой поля.
Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей. Он выражает одно из самых замечательных свойств полей и позволяет вычислять напряженность поля любой системы зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов, вклад каждого из которых дается формулой (1.2).
2.4 Распределение зарядов
Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они "размазаны" определенным образом в пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.
При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов - объемной ?, поверхностной ? и линейной ?. По определению
где dq - заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхности dS и на длине dl.
С учетом этих распределений формула (1.3) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить qi на dq = pdV и сумму на интеграл, тогда
где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ? отлично от нуля. Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (1.3), если распределение дискретно, или по формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение непрерывно. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями. Действительно, для нахождения вектора Е надо вычислить сначала его проекции Еx, Еy, Еz, а это по существу три интеграла типа (1.5). И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача, как правило, значительно облегчается.
2.5 Геометрическое описание электрического поля
Зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле очень наглядно с помощью линий напряженности, или линий вектора Е. Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, т.е. число линий, пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную линиям в данной точке, была бы пропорциональна модулю вектора Е.
Кроме того, этим линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора Е. По полученной картине можно легко судить о конфигурации данного электрического поля - о направлении и модуле вектора Е в разных точках поля.
2.6 Потенциал
До сих пор мы рассматривали описание электрического поля с помощью вектора Е. Существует, однако, и другой адекватный способ описания - с помощью потенциала ? (заметим сразу, что оба эти способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, второй способ обладает рядом существенных преимуществ.
Тот факт, что линейный интеграл
представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками (из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил, является консервативным, то есть работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки), позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат ? (r), убыль которой
где ?1 и ?2 - значения функции ? в точках 1 и 2. Так определенная величина ? (r) называется потенциалом поля. Из сопоставления выражения (1.7) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал - это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля.
Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение ?0. Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.7) однозначно. Если изменить ?0 на некоторую величину ??, то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.
Таким образом, потенциал ? определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последняя же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.
Единицей потенциала является вольт (В).
2.7 Потенциал поля точечного заряда
Формула (1.7) содержит не только определение потенциала ?, но и способ нахождения этой функции. Для этого достаточно вычислить интеграл по любому пути между двумя точками и представить затем полученный результат в виде убыли некоторой функции, которая и есть ср (г). Можно поступить и проще. Воспользуемся тем, что формула (1.23) справедлива не только для конечных перемещений, но и для элементарных dl. Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть
электростатическое поле заряженное тело
Другими словами, если известно поле Е (г), то для нахождения ? надо представить Еdl (путем соответствующих преобразований) как убыль некоторой функции. Эта функция и есть ?.
Найдем т