Расчет щелевых импедансных нагрузок
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?ия интегрального уравнения (3.12) применялся метод Крылова-Боголюбова. Рассмотрим его подробнее.
Метод Крылова-Боголюбова
Имеем исходное интегральное уравнение 1-го рода
,(4.1)
где - неизвестная функция, - ядро интегрального уравнения, - известная правая часть.
Разобьем интервал на равных участков, в центре каждого участка выделим точку , где . Будем считать значение функции , внутри каждого участка, неизменным. То есть фактически заменим непрерывную функцию - кусочно-линейной
,(4.2)
где ,
Теперь интегральное уравнение принимает вид
.(4.3)
Вводим систему пробных функций и образуем скалярное произведение каждой функции с левой и правой частями интегрального уравнения.
(4.4)
для .
Пользуясь основным свойством -функции преобразуем полученное выражение.
,(4.5)
для .
Далее вынесем сумму за знак интеграла.
,(4.6)
для .
Функция на интервале не равна нулю лишь на участке , а внутри этого участка она равна единице, поэтому получим окончательное выражение
,(4.7)
для .
Таким образом исходное интегральное уравнение сведено к системе линейных алгебраических уравнений вида
,(4.8)
решение которой при помощи среды программирования MathCad 7.0 не представляет труда.
4.1Выражения для коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений
Запишем выражения для коэффициентов системы (4.8):
,(4.9)
.(4.10)
С точки зрения програмной реализации в среде MathCad 7.0 первый интеграл выражения (4.9) не представляется сложным, так как пакет MathCad 7.0 имеет встроенную процедуру численного интегрирования, а функция Ханкеля второго рода нулевого порядка, входящая в выражение для выражается через функции Бесселя, также имеющиеся в пакете MathCad 7.0, следующим образом:
.(4.11)
Второй же интеграл выражения (4.9) наиболее трудоемок в процессе вычисления коэффициентов, так как он берется от функции , которая сама по себе представляет собой двойную сумму. iелью сокращения машинного времени, требующегося для просчета коэффициентов (4.11), упростим выражение для .
Запишем исходное выражение для вспомогательного магнитного поля (3.36)
.(4.12)
Двойную сумму в этом выражении можно разложить следующим образом:
,(4.13)
где
,(4.14)
а коэффициенты с отрицательными индексами образуются из соответсвующих коэффициентов с положительными индексами путем изменения знака индекса (домножением на ) в выражении (4.14).
Найдем теперь коэффициенты разложения (4.13).
(4.15)
Далее при найдем значения коэффициентов первой суммы разложения (4.13). Для этого подставим в выражения для функций (3.25) и (3.26).
,(4.16)
обозначим полученное выражение через , то есть
.(4.17)
Далее
,(4.18)
это выражение обозначим через , то есть
.(4.19)
Запишем окончательно выражения для коэффициентов и :
;(4.20)
.(4.21)
Найдем теперь выражения для коэффициентов второй суммы разложения (4.13). Проделав аналогичные выкладки можно показать, что эти коэффициенты также равны между собой и к тому же идентичны коэффициентам (4.20), (4.21). Это значит первую и вторую сумму разложения (4.13) можно объединить в одну следующим образом:
,(4.22)
где
.(4.23)
Для нахождения коэффициентов третьей суммы разложения (4.13) заметим, что функция содержит только четные функции, а именно - косинусы, а значит она является четной относительно обоих индексов и . Функция же - напротив нечетна. Поэтому получаем равенство коэффициентов и . Коэффициенты же и также равны, но отличаются от коэффициентов и знаком индекса .
Запишем окончательно:
,(4.24)
.(4.25)
С учетом (4.22), (4.24) и (4.25) разложение (4.13) приобретает вид:
.(4.26)
Это выражение и будем использовать в дальнейшем при составлении программы.
5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Используя все, сказанное выше, была разработана в среде программирования MathCad 7.0 универсальная программа, позволяющая, используя численное решение интегрального уравнения, рассчитывать зависимости эквивалентного поверхностного импеданса от геометрических размеров конструкции, частоты падающего поля, а также от угла падения волны.
Ниже приведены некоторые зависимости, найденные с помощью этой программы.
Рис. 5.1. Распределение модуля касательной составляющей
Рис. 5.2. Распределение действительной части касательной составляющей
Рис. 5.3. Распределение мнимой части касательной составляющей
Рис. 5.4. Зависимость нормированного значения мнимой части эквивалентного поверхностного импеданса от размеров щели , при ,
Рис. 5.5. Зависимость нормированного значения мнимой части эквивалентного поверхностного импеданса от размеров щели , при ,
Рис. 5.6. Зависимость нормированного значения мнимой части эквивалентного поверхностного импеданса от размеров щели , при ,
Рис. 5.7. Зависимость нормированного значения мнимой части эквивалентного поверхностного импеданса от размеров щели , при ,
Рис. 5.8. Зависимость нормированного значения мнимой части эквивалентного поверхностного импеданса от размеров щели , при ,
Рис. 5.9. Зависимость нормированного