Расчёт и моделирование энергетических характеристик углеродных нанотрубок
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
? координатах с началом в центре сферы ?. Интегрирование по объему МТ-области в сферической системе координат . включает интегрирование по r в пределах от 0 до , по от 0 до ? и по ? от 0 до 2? [2, c.182]:
Здесь введено обозначение [2, c.182]:
Теперь следует определить второй интеграл в правой части (104) [2, c.182]:
Используем условие ортогональности (73) сферических гармоник , тогда [2, c.183]:
С учетом условий нормировки волновых функций (75) и ортогональности функций их производным (76) выражение (107) преобразуется к виду [2, c.183]:
где - интеграл (77).
Подставим теперь в (109) выражение для коэффициентов [2, c.183]:
где [2, c.184]
Подставляя в (104) значения интегралов (105) и (110) и меняя порядок суммирования по l и m в (110), получим окончательную формулу для интегралов перекрывания [2, c.184]:
где [2, c.184]
Матричные элементы гамильтониана
При определении матричных элементов гамильтониана будем пользоваться тем же приемом интегрирования базисной волновой функции ? по элементарной ячейке ?, а именно - интеграл по элементарной ячейке ? представим как сумму интегралов по межсферной области от цилиндрических волн и интегралов по внутренним областям МТ-сфер от сферических частей базисных функций [2, c.185]:
Примем за начало отсчета энергии значение постоянного потенциала в межсферной области. Тогда в этой области электронный гамильтониан совпадает с оператором кинетической энергии: . Интеграл по межсферной области от цилиндрических волн равен интегралу по всей ячейке за вычетом суммы интегралов по МТ-сферам [2, c,185]:
Цилиндрические волны являются собственными функциями оператора кинетической энергии электронов в пустом цилиндре, поэтому [2, c.185]
Представим интегралы по внутренним областям МТ-сфер в (113) и (114) в виде [2, c,186]:
В локальной сферической системе координат [2, c.186]:
где - ортонормированные единичные векторы. Тогда [2, c.186]:
Вид (89) уже получен. Производные по координатам и и ц равны [2, c.186]:
Зная производные (88), (120) и (121), можно рассчитать правую часть (119) [2, c.187]:
где интеграл определяется уравнением (106). Интеграл аналогичен , но в нем вместо функций Бесселя J стоят их первые производные [2, c.187]:
Наконец, интеграл имеет вид [2, c.187]:
Теперь необходимо рассчитать второй интеграл в правой части (114), отвечающий МТ-областям атомов, где [2, c.188]:
Учитывая, что сферические гармоники ортонормированны, находим [2, c.188]:
Из уравнений для волновых функций и следует [2, c.189]:
Теперь (126) можно записать в виде [2, c.189]:
Используя соотношения (114, 122, 127) и выражения для коэффициентов и получаем окончательное выражение для матричных элементов гамильтониана [2, c.189]:
Здесь [2, c.190]
(Для обеспечения эрмитовой сопряженности матрицы, как и в методе ЛППВ, при расчете сделана замена на )
Наконец, используя полученные выражения для интегралов перекрывания и матричных элементов гамильтониана , из секулярного уравнения [2, c.190]
можно определить законы дисперсии электронов нанотрубки.
Практические аспекты метода
Развитый метод реализован в виде программы на языке ФОРТРАН.
Для цилиндрических функций Бесселя первого рода и второго рода и их производных справедливы рекуррентные формулы [2, c. 193]:
Для расчета используется предложенная Миллером процедура, основанная на убывании этой функции с ростом n. Пусть требуется вычислить . На первом этапе полагаем , для достаточно большого N>n, используя рекуррентную формулу (142) в направлении убывания N, получаем последовательность Если N было достаточно большим, каждый член этой последовательности пропорционален соответствующему члену в последовательности . Множитель пропорциональности р получается с использованием формулы [2, c. 193]
Вычисляя
находим .
Значения функций Бесселя второго рода вычисляются с использованием той же рекуррентной формулы (142) в направлении возрастания и сравнения , вычисленным по формуле [2, c. 194]:
где
постоянная Эйлера.
Зная величины функций Бесселя, с помощью (145) находим их производные.
Присоединенные полиномы Лежандра , которые определяются уравнением [2, c. 194]:
рассчитываются следующим образом. Так как значения m в не могут превышать l, полагая на первом этапе m = l в (146), рассчитывается по формуле [2, c. 194]
Далее, применяя формулу
И рекуррентное соотношение [2, c. 194]
() раз, получаются окончательные значения . Для нахождения радиальной волновой функции и ее производных использовался стандартный, метод численного интегрирования радиального уравнения Шрёдингера.
Практическая часть
Предварительный расчет
Исходные данные УНТ типа (14, 0), (14, 14). Количество элементарных ячеек по оси трубки 4.
Радиус нанотрубки равен половине ее диаметра, который мы ранее определили выражением: