Расчет вероятности событий
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Задание 1.
Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятности срабатывания устройств при аварии соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,4. Найти вероятность того, что при аварии:
А) сработает хотя бы одно устройство;
Б) сработает не менее двух устройств.
РЕШЕНИЕ:
События:
А1 - сработает устройство №1;
А2 - сработает устройство №2;
А3 - сработает устройство №3.
Тогда вероятности р(А1) = 0,9; р(А2) = 0,7; р(А3) = 0,3 (по условию задачи).
Вероятности противоположных событий (устройство не сработает):
р() = 1 - 0,9 = 0,1; р() = 1 - 0,7 = 0,3; р() = 1 - 0,3 = 0,7.
А) Событие сработает хотя бы одно устройство - это сумма событий А1, А2 и А3. Противоположным для него будет событие о том, что ни одно устройство не сработало. Тогда по теореме о вероятности произведения независимых событий получим:
р(р() р() р() = 1 - 0,1*0,3*0,7 = 0,979.
Б) Событие сработает не менее двух устройств означает, что только одно устройство (1-е, 2-е или 3-е) останется не работающим. В символьной записи вероятность данного события будет вычисляться так:
р(А) = р() р() р() + р() р() р() + р() р() р() =
= 0,1*0,7*0,3 + 0,9*0,3*0,7 + 0,9*0,7*0,7 = 0,651.
ОТВЕТ: А) 0,979; Б) 0,651.
Задание 2.
Дискретная случайная величина задана рядом распределения
X-102P0,50,3P3
Найти: 1) Р3;
) математическое ожидание М(Х);
) дисперсию D(X);
) функцию распределения F(x) и построить ее график.
РЕШЕНИЕ:
1) Для закона распределения дискретной случайной величины должно выполняться условие. Тогда Р3 = 1 - (0,5 + 0,3) = 0,2.
) Математическое ожидание М(Х) ищем по формуле:
.
) Дисперсию D(X) ищем по формуле:
.
4) Функция распределения F(x) примет вид:
Строим ее график:
Задание 3.
Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х:
Найти: 1) коэффициент а;
) М(Х);
).
РЕШЕНИЕ:
Находим функцию плотности распределения:
)Коэффициент а находим, используя свойство нормированности функции плотности распределения вероятностей: .
Для нашего случая получим:
Тогда .
и
2)Математическое ожидание М(Х) ищем по формуле:
3) Для нахождения вероятности попадания случайной величины Х в интервал воспользуемся формулой:
.
ОТВЕТ: 1) ; 2) ; 3) .
Задание 4.
В результате контроля поступившей на склад продукции получены данные, записанные в виде статистического ряда:
185225208189207193232215220214227219210208207202220227210213235196191226227211220182202192234215221236220204217216197229216233208207216201217222205190вероятность интервальный дисперсия распределение
Требуется:
) составить интервальный статистический ряд распределения значений статистических данных;
) построить полигон и гистограмму относительных частот;
) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
4) вычислить числовые характеристики выборки (выборочную среднюю , выборочное среднее квадратичное отклонение ).
РЕШЕНИЕ:
1)Разобьем интервал измерения случайной величины на m частичных интервалов равной длины и подсчитаем частоту попадания значения случайной величины в каждый из интервалов.
Значение m находится по формуле: , где 50 - кол-во элементов в выборке.
- длина интервала.
Начало первого интервала принимаем равным .
Шкалу и группировку статистических данных представим в виде таблицы:
Интервалы[182; 191](191; 200)(200; 209)(209; 218)(218; 227)(227; 236)Частота541112126Относительная частота0.10.080.220.240.240.12Накопленная относительная частота0.10.180.40.640.881
Мы построили интервальный статистически ряд распределения значений статистических данных.
)Эмпирическая функция распределения строится по ряду накопленных частот:
3)Ищем числовые характеристики выборки
ИнтервалыСередина интервала (yi)Частота (mi)yi*mi(yi - )*mi(yi - )2*mi[182; 191]186,55932,5-118,82822,688(191; 200)195,54782-59,04871,4304(200; 209)204,5112249,5-63,36364,9536(209; 218)213,512256238,88125,9712(218; 227)225,5122706182,882787,0912(227; 236)231,561281127,442706,8256Cумма125750105139678,96
Задание 5.
Для изготовления 4-х видов продукции используются 3 вида сырья. Количество сырья каждого из видов, необходимое для изготовления единицы продукции каждого из видов, а также запасы сырья и прибыль от реализации продукции единицы продукции каждого из видов заданы матрицей:
Требуется:
1)Составить экономико-математическую модель задачи, пользуясь которой можно найти план выпуска продукции, при котором общая прибыль Z будет наибольшей;
)Симплексным методом найти оптимальный план выпуска продукции и максимальную величину прибыли;
)Составить двойственную задачу к исходной и пояснить ее экономическую суть. Используя теорию двойственности установить соответствие между переменными прямой и двойственной задач, найти двойственные оценки;
)С помощью двойственных оценок исследовать:
А) степень полезности отдельных видов ресурсов в условиях производства;
Б) величину финансовых потерь в расчете на единицу продукции в случае, если предприятие вынуждено будет производить невыгодные ему виды продукции. При необходимости такого производства обосновать цены на готовую продукцию.
РЕШЕНИЕ:
1)Составляем экономико-математическую модель задачи.
Обозн