Расчет вероятности событий
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
ачим количество единиц каждого из 4-х видов продукции переменными Х1, Х2, Х3, Х4 соответственно.
Прибыль от реализации продукции выражается формулой:
Z = 6Х1 + 4Х2 + 6Х3 + 8Х4.
По условию задачи переменные должны удовлетворять ограничениям, которые накладываются на расход предприятием каждого из трех видов сырья.
Математическая модель задачи примет вид:
Переводим задачу в канонический вид, введя дополнительные (балансовые) переменные, получим:
2)Решаем полученную задачу линейного программирования симплексным методом.
Составляем первую симплекс-таблицу:
БПСбАоХ1Х2Х3Х4Х5Х6Х7?6424000Х503042241007,5Х6040343401013, (3)Х7080435100120Zj - Cj0-6-4-2-4000
Полученный план является опорным, но не является оптимальным, так как в индексной строке есть отрицательные элементы.
Наибольший по модулю отрицательный элемент в индексной строке равен -6, значит, новая базисная переменная - Х1 (и это разрешающий столбец).
? = Ао, деленные на элементы выбранного столбца.
Min ? = min {7,5; 13, (3); 20} = 7,5.
Значит, Х5 выводится из числа базисных переменных (это разрешающая строка).
На пересечении разрешающих столбца и строки - разрешающий элемент.
Преобразуем симплексную таблицу и получаем:
БПСбАоХ1Х2Х3Х4Х5Х6Х7?6424000Х167,510,50,510,250015Х607,502,51,51-0,75103Х7050013-3-10150Zj - Cj360-1121,500
Полученный план является опорным, но не является оптимальным, так как в индексной строке есть отрицательные элементы.
Вводим переменную Х2, выводим - Х6.
Преобразуем симплексную таблицу и получаем:
БПСбАоХ1Х2Х3Х4Х5Х6Х7?6424000Х167,5100Х243010,60,4-0,30,40Х7047001Zj - Cj57001,62,41,20,40
Полученный план (7,5; 3; 0; 0; 0; 47) является опорным и оптимальным, так как в индексной строке нет отрицательных элементов, однако, он не является единственным, так как не все свободные переменные оценки отличны от нуля.
Максимальная прибыль составит 57 ден. ед., если будет выпущено 7,5 весовых единиц товара первого вида и 3 весовые единицы товара второго вида. Товары третьего и четвертого вида выпускаться не будет. 47 весовых единиц сырья останутся не расходованными.
)Составляем модель двойственной задачи.
По теореме о двойственности следует, что если решена одна из пары двойственных задач, то решена и вторая.
Запишем двойственную задачу в каноническом виде.
,
где - новые балансовые переменные.
Соответствие между переменными прямых и двойственных задач имеет вид:
Компоненты оптимального плана двойственной задачи берутся из индексной строки последней симплексной таблицы.
Y* = (1,2; 0,4; 0; 0; 0; 1,6; 2,4).
4)Оценки 1-го и 2-го видов сырья положительные, это значит, что они расходуются полностью. 3-й вид сырья не будет расходован, так как его оценка равна нулю.
Увеличение объема сырья 1-го вида на 1 весовую единицу позволяет увеличить максимальный доход на 1,2 ден. ед., 2-го вида - на 0,4 ден. ед.
Дополнительные двойственные переменные являются мерой убыточности продукции, которую согласно оптимальному плану нецелесообразно выпускать.
Например, Y6 = 1,6. Это значит, что стоимость ресурсов, расходуемых на производство одной единицы продукции третьего вида, превышает стоимость единицы этой продукции (6 ден. ед.) на 1,6 ден. ед. Аналогично для товара четвертого вида (8 ден. ед.) - на 2,4 ден. ед. То есть, в случае необходимости производства цена товара 3-го вида должна быть не менее 7,6 ден. ед., 4-го вида - не менее 10,4 ден. ед.
Задание 6.
Имеется три поставщика и пять потребителей некоторой продукции. Количество груза, которое может отгрузить поставщик, и стоимость перевозки из одного пункта в другой единицы груза заданы матрицей:
Составить экономико-математическую модель задачи и найти методом потенциалов оптимальный план перевозки продукции (при котором общие транспортные затраты будут наименьшими).
РЕШЕНИЕ:
Строим математическую модель задачи. Переменными Хij обозначим объем продукции, который поставляется от поставщика Аi потребителю Bj, где i=1,2,3, j=1,2,3,4,5.
Сумма количества продукции, которую могут отгрузить все поставщики:
А = 300 + 280 + 320 = 900.
Сумма потребностей потребителей:
В = 140 + 190 + 180 + 170 + 220 = 900.
Полученные величины равны, значит, данная задача закрытого типа и имеет решение без дополнительных преобразований.
Математическая модель задачи имеет вид:
Строим начальную распределительную таблицу по методу северо-западного угла.
Bj AiB1B2B3B4B5aiUiA12 1404 1603 02 02 03000A26 05 308 1804 705 02801A35 06 08 06 1003 2203203bj140190180170220900Vj24730
Проверяем полученный опорный план на оптимальность, построив систему для потенциалов загруженных клеток (полагаем, что U1 = 0) и находя оценки свободных клеток:
U1 + V1 = 2 > V1 = 2 U1 + V2 = 4 > V2 = 4 U2 + V2 = 5 > U2 = 1 U2 + V3 = 8 > V3 = 7 U2 + V4 = 4 > V4 = 3 U3 + V4 = 6 > U3 = 3 U3 + V5 = 3 > V5 = 0?13 = 3 - (7+0) = -4 ?14 = 2 - (3+0) = -1 ?15 = 2 - (0+0) = 2 ?21 = 6 - (2+1) = 3 ?25 = 5 - (0+1) = 4 ?31 = 5 - (2+3) = 0 ?32 = 6 - (4+3) = -1 ?33 = 8 - (7+3) = -2
Так как некоторые оценки отрицательны, то построенный план не является оптимальным. Для построения цикла перераспределения выбираем максимальную по модулю отрицательную оценку, то есть ?13 = -4. Тогда в базис вводим переменную Х13 и строим замкнутый контур с вершинами в загруженных клетках.
Начиная с Х13 проставляем поочередно по часовой стрелке знаки + и -, из двух клеток с - выбираем минимальную загрузку и направляем ее в клетки с +, вычитая из клеток с -. Проверяем, не ошиблись ли мы ?/p>