Разработка математической модели процесса переработки полимерных материалов термоформованием и экструзией
Дипломная работа - Разное
Другие дипломы по предмету Разное
?еля) tср и коэффициент теплоотдачи a от среды к поверхности.
Коэффициент теплоотдачи a является основной характеристикой закона Ньютона-Рихмана, описывающего теплоотдачу от теплоносителя к поверхности нагреваемого или охлаждаемого объекта. Согласно этому закону, тепловой поток зависит от интенсивности проникновения тепла через поверхность объекта, выражаемой коэффициентом теплоотдачи a как мерой тепловой проводимости пограничного слоя, образуемого теплоносителем, и от разности температур теплоносителя и поверхности объекта (или температурного напора):
= a (tср - tw) (1.13)
Граничные условия 4-го рода возникают, если рассматриваемое тело соприкасается с другим телом, имеющим иные теплофизические характеристики. Контакт поверхностей тел должен быть настолько хорошим, чтобы температуры соприкасающихся поверхностей тел были одинаковыми:
x=+0 = tx=-0
Граничные условия 1-го рода удобно задавать, когда тепловое сопротивление теплоносителя очень мало по сравнению с тепловым сопротивлением нагреваемого или охлаждаемого объекта (при бесконечно большом коэффициенте теплоотдачи). Действительно, из уравнения (1.13) ясно, что при a>? tw > tср. Иными словами, для больших значений a температура поверхности объекта tw приближается к температуре теплоносителя tср. Отсюда очевидно, что граничное условие 1-го рода является частным случаем граничного условия 3-го рода, когда a>?. На практике для выполнения граничного условия 1-го рода необходимо, чтобы температурное сопротивление пограничного слоя, или теплоносителя (внешнее сопротивление) 1/a, оказалось значительно меньше внутреннего сопротивления, или температурного сопротивления нагреваемого объекта l/? где l-определяющий размер тела, ? -коэффициент теплопроводности (отношение это обычно берется для граничного слоя тела). Отношение внутреннего сопротивления к внешнему характеризует условия теплообмена тела с внешними температурными источниками и называется критерием Био:
Если известны тепловые потоки (например, они непосредственно задаются от какого-либо нагревателя), удобно использовать граничные условия 2-го рода.
Граничные условия 3-го рода задаются, когда коэффициенты теплоотдачи a имеют конечные значения (заметное тепловое сопротивление теплоносителя) и известны (или могут быть определены) температура теплоносителя tср, тепловой поток q и коэффициенты теплоотдачи a (случай, когда температура теплоносителя отличается от температуры поверхности объекта).
1.3 Выбор и описание численного метода решения уравнения модели
В соответствии с заданием на курсовой проект требуется определить время выдержки полимерного материала под давлением. Время выдержки рассматриваем как сумму последовательных процессов нагрева и отверждения. Время отверждения, зависящее от типа материала и температуры, задано в исходных данных. Для определения время нагрева требуется разработать математическую модель и реализовать ее при помощи ЭВМ. В основу численных приближенных методов решения положено разбиение теплопроводящей среды на элементарные объемы, которое может зависеть от формы и состава системы. Так, в прямоугольном теле, состоящем из одного материала или из слоев, границы которых расположены параллельно поверхностям тела, целесообразно деление на элементарные слои, которые должны быть достаточно малыми. Такое разбиение заменяет непрерывную среду дискретными точками, обычно являющимися центрами элементарных объемов, температуры в которых считаются температурами соответствующих элементарных объемов, как и теплофизические характеристики элементарных объемов. Точки называются узловыми. Поскольку в реальной системе точки среды не изолированы друг от друга, узловые точки при указанной замене должны быть соединены между собой идеально теплопередающими связями. Непрерывно протекающий во времени t процесс можно также заменить ступенчатым процессом, характеристики которого в течение малых отрезков времени ?t не изменяются, но в каждый предыдущий промежуток времени ?t-1 имеют иные значения, чем в данный промежуток времени ?t или в последующий промежуток ?t+1. При подобной замене уравнение в частных производных может быть записано в виде уравнения в конечных разностях. Приведение уравнения в частных производных к разностному уравнению наиболее просто выполняется посредством ряда Тейлора. Так, для дифференциального уравнения
(1.14)
можно разложить T(х,t) в степенной ряд по t, считая x постоянным:
Поскольку ?t мало, то членами ряда, содержащими (?t)2 и более высокие степени, можно пренебречь, получив в первом приближении следующее изменение температуры в точке x за промежуток времени ?t:
(1.15)
Аналогично, принимая t постоянным, можно разложить T(х+?x, t) в степенной ряд по x; пренебрегая членами, содержащими вторые и более высокие степени ?x, можно получить изменение температуры в данный момент времени t при переходе от точки x к точке х+?x:
(1.16)
При нахождении первого приближения для используются аналогичные разложения в ряд T(х+?x, t) и T(х-?x, t). При этом получается:
(1.17)
При этом при выбранном шаге ?x и известном a необходимо, чтобы величина минимального шага по времени ?t была не более чем
(1.18)
где a - коэффициент температуропроводности.
Применительно к нашему заданию, чтобы получить систему обыкновенных дифференциальных уравне