Разработка математической модели процесса переработки полимерных материалов термоформованием и экструзией
Дипломная работа - Разное
Другие дипломы по предмету Разное
Вµние математической модели процесса в прямоугольных / цилиндрических координатах
Рассмотрим процесс прессования полимерных материалов прямоугольного сечения толщиной S.
Рис.1.4 Моделирование процесса прессования.
Как видно из рисунка, слой полимерного материала толщиной S помещается между двумя элементами пресс-формы, которые имеют температуру, необходимую для нагрева заготовки, которая изначально имеет меньшую температуру. Предполагаем, что процесс нагрева происходит симметрично, т.е. одинаково, как с левой, так и справой сторон. Для вывода зависимости можно рассматривать только одну из этих частей.
Очевидно, что температура T будет являться функцией координаты X и времени t. Вывод уравнения теплопроводности будем делать, основываясь на следующих физических предпосылках:
1.Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на ?Т, равно
Q=C? ?Т (1.1)
где С - теплоемкость, Дж/кг*К; ? - плотность, кг/м3 ; V - объем, м3.
2.Количество тепла, протекающего через поперечное сечение материалов за момент времени ?t - пропорционально площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном к сечению и промежутку времени ?t, т.е.
(1.2)
где ? - коэффициент теплопроводности, Вт/м2K.
Знак минус в формуле (1.2) объясняется тем, что величину теплового потока будем считать положительной, когда тепло проходит в сторону возрастания X. Если ?T/?x>0, то это означает, что с возрастанием Х температура повышается, а так как тепло переходит от более нагретым участка к менее нагретым, то тепловой поток будет направлен в сторону уменьшения X, т.е. его величина будет отрицательной. Мы будем считать коэффициент теплопроводности постоянным: это предположение оправдывается, если материал однородный и температура изменяется в небольших пределах.
Выделим (как это показано на рис. 1.4) участок заготовки с абiиссой x+?x и составим для него уравнение теплового баланса. Поскольку
,
то при x+?x значение частной производной
,
поэтому величина теплового потока, выходящего через сечение x+?x, равна
Взяв разность величин входящего Q и выходящего Q1 тепловых потоков, получим количество тепла ?Q, сообщенного выбранному участку материала за время ?t.
(1.3)
С другой стороны, за этот же промежуток времени температура изменилась на величину (?T/?x)?t, поэтому в формуле (1.1) сообщенное количество тепла равно
(1.4)
Приравнивая полученные выражения (1.3) и (1.4), получим
(1.5)
Рассмотрим решение аналогичной задачи для случая, когда прессуемый материал имеет форму цилиндра. Полагаем, что боковая поверхность цилиндра радиуса R поддерживается при постоянной температуре. Если в начальный момент времени температура T в каждой точке зависит только от расстояния r до оси цилиндра, то ясно, что и в дальнейшем температура будет зависеть лишь от r и времени t. Тепловой поток при этом всегда направлен по радиусам цилиндра. Таким образом, T=f(r,t). В этом случае необходимо рассматривать распределение тепловых потоков в трехмерных координатах. Если ось такого цилиндра совпадает с координатой z, то температура в любой точке цилиндра будет зависеть только от координат х и у. При равномерном охлаждении или нагревании цилиндра в любой точке, отстоящей на расстоянии r от оси цилиндра, температура в данный момент времени будет одна и та же. Следовательно, изотермические поверхности будут представлять собой цилиндрические поверхности, коаксиально расположенные к поверхности цилиндра. Между радиальной координатой r (радиус-вектор) и координатами х и у существует связь
2 = х2 + у2(1.6)
Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности для бесконечного цилиндра можно преобразовать так:
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Дифференцируя (1.7) по х, а (1.9) по у, получаем
(1.10)
(1.11)
Складывая уравнения (1.10) и (1.11) и принимая во внимание (1.6), получим для уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах следующее выражение:
(1.12)
Для решения задач стационарной и нестационарной теплопроводности в числе прочих условий должны быть заданы граничные условия. Граничные условия описывают действие окружающей среды на поверхность нагреваемого или охлаждаемого объекта. Окружающую среду при этом можно назвать теплоносителем. Способ задания граничных условий зависит от теплообмена на границе (поверхности), а также от того, какие из задаваемых параметров, характеризующих граничные условия, оказываются известными. Существуют четыре основных способа задания граничных условий, называемых соответственно граничными условиями 1, 2, 3 и 4-го родов.
По первому способу (при граничных условиях 1-го рода) задается температура tw на поверхности нагреваемого объекта. Она может быть постоянной и одинаковой по всей поверхности (контуру), может быть различной по контуру, но постоянной во времени, может изменяться во времени.
По второму способу (при граничных условиях 2-го рода) задается количество тепла, проходящего через поверхность, т.е. тепловой поток q как функция времени t и координат точек поверхности. При этом для граничных условий имеется в виду поток, нормальный к поверхности в каждой из ее точек.
По третьему способу (при граничных условиях 3-го рода) задаются: температура окружающей среды (теплоноси