Разработка алгоритмов для оптимизации пространственных структур РНК
Дипломная работа - Биология
Другие дипломы по предмету Биология
?а осложняется тем, что для натуральной параметризации кривой должно выполняться тождество [см. 3]:
(x'(s))2 + (y'(s))2 + (z'(s))2 = 1 (для всех s)
Поэтому поступим так. Введём функции ?(s) и ?(s):
задаваемые полиномами 3-й степени, такие, что:
Тогда, очевидно, условие натуральной параметризации кривой всегда будет выполнено. То есть:
Поэтому:
Тогда функционал упругой энергии будет иметь вид:
Вводя вспомогательные функции , , и такие, что
после приведения подобных слагаемых, можно записать функционал энергии в виде
В итоге, функционал упругой энергии примет окончательный вид:
В ходе минимизации этого функционала, значения содержащихся в нём интегралов будут вычисляться с помощью численного метода Симпсона (см. [5]), так как они не вычисляются аналитически. Таким образом, мы получили функционал от 4+4=8 неизвестных, представляющий собой выражение для упругой энергии выбранного элемента вторичной структуры РНК.
4. Расчёт упругой энергии для всех элементов молекулярной цепи
.1 Общие положения
Так как упругая энергия потенциальна и аддитивна, то упругая энергия всей молекулярной цепи равна сумме упругих энергий всех элементов вторичной структуры молекулы.
Рассмотрим молекулу из указанного выше примера (см. рисунок 6), которая имеет форму какой-то кривой в трёхмерном пространстве: её суммарная упругая энергия равна сумме упругой энергии стебля и упругой энергии петли. Затем проведём следующее преобразование пространственной формы этой молекулы: зафиксируем какую-то произвольную пространственную форму для этой молекулы, и в точках 6 и 14 произведём какой-либо произвольный перегиб петли, не меняющий форму самой петли, а также форму стержней, образующих стебли молекулы. То есть, если бы и стебель, и петля целиком содержались в каких-то двух плоскостях, то наше преобразование являлось бы простым изменением двугранного угла между этими плоскостями (а координаты каждой точки стебля и петли внутри этих плоскостей остались бы неизменными). Выясним, изменилась ли в результате такого преобразования упругая энергия всей молекулярной нити?
Так как форма петли и стебля остались неизменными, то значения кривизны и кручения в каждой их точке также останутся неизменными (ввиду того, что угол наклона касательной к кривой в этой точке останется неизменным) - за исключением самих точек 6 и 14, в которых и производился перегиб. Поэтому суммарная упругая энергия во всех точках цепи (кроме точек 6 и 14) также останется неизменной.
Таким образом, данное преобразование перегиба не меняет значение упругой энергии во всех точках, кроме самих точек перегиба. Поэтому, если мы разобьём всю цепь на некоторое число конечных элементов вторичной структуры, границами которых будут служить точки перегиба (точки прикрепления петель к стеблям), то упругая энергия каждого из них не изменится в результате данного преобразования.
4.2 Задание граничных условий
Остаётся только определить значения кривизн в точках перегиба, которые бы соответствовали истинной пространственной форме молекулы. Для этого нам необходимо задать условия на гладкость кривой, соответствующей молекулярной цепи РНК, в этих точках, так как в реальности молекулярной цепи соответствует гладкая и неразрывная кривая. Эта задача осложняется тем, что каждая точка перегиба принадлежит одновременно двум элементам, в каждом из которых уравнение кривой будет иметь свой собственный вид (и соответственно, коэффициенты ?1, ?2, ?3, ?4 и ?1, ?2, ?3, ?4 в формуле функционала упругой энергии будут, скорее всего, различными).
Рассмотрим данную ситуацию на примере соединения двух произвольных кривых:
Рис. 7. Угол между касательными к каждой прямой в точке перегиба
Здесь у нас есть две различные натурально параметризованные кривые, с заданными направлениями отсчёта натурального параметра (то есть направлениями обхода кривой). Точка M на рисунке 7 является точкой соединения этих кривых. Очевидно, что для того, чтобы одна кривая гладко входила в другую, необходимо, чтобы угол ? между касательными к каждой кривой был равен нулю. Обозначим ?1, ?2 - углы наклона касательных к оси абiисс. Очевидно, что ? = ?2 - ?1. А так как (см. [2]) кривизна k(s) = , то получаем, что k2(s) - k1(s) = = 0. Таким образом, одним из граничных условий, задаваемых при минимизации функционала упругой энергии, будет равенство значений кривизн на концах одних конечных элементов и на началах других (несмотря на то, что эти элементы будут задаваться различными функциями).
5. Минимизация функционала упругой энергии для всей молекулярной цепи
Задача минимизации функционала упругой энергии для одного конечного элемента цепи РНК состоит в нахождении таких неизвестных ?i и ?i, что построенный в пункте 3.3 функционал упругой энергии W достигает своего минимума. Таким образом, используя метод конечных элементов (см. [6]), мы можем провести минимизацию функционала упругой энергии для всей молек